用折纸三等分任意锐角和倍立方

三等分任意锐角

三等分角是古希腊平面几何里尺规作图领域中的著名问题，与化圆为方及倍立方问题并列为尺规作图三大难题。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一，是对具体的直尺和圆规画图可能性的抽象化，研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。三等分角问题的内容是：==能否仅用尺规作图法将任意角度三等分？==

折纸解法

在正方形中，有一个锐角$\theta$，我们要将其三等分。首先在正方形下部任意对折，得到折痕$L_1$，此时应用折纸公理6(双点到线)，将$p_1$折到$L_1$上，同时将$p_2$折到角的另一边$L_2$上，此时$L_1$的延长线$L_3$即把$\theta$三等分

折叠即对称

首先说明为什么$p_1$在$L_3$上

由折叠的对称性，原来的$p_1$成为了$C$，可知$xC=xp_1$，所以对顶角相等，即可推出$p_1$在$L_3$上

由图$AB=BC=CD$，由角平分线定理和$p_1B\perp AC$得$\triangle p_1AB\cong \triangle p_1BC\cong \triangle p_1CD$所以有三等分

倍立方

问题描述

==能否用尺规作图的方法作出一立方体的棱长，使该立方体的体积等于一给定立方体的两倍？==

相关传说

传说中，这问题的来源，可追溯到公元前429年。一场瘟疫袭击了希腊提洛岛（Delos），造成四分之一的人口死亡。岛民们去神庙请示阿波罗的旨意，神谕说：要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。人们便把每边增长一倍，结果体积当然就变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；接着人们又试著把体积改成原来的2倍，但形状却变为一个长方体……第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救于当时著名的学者柏拉图。
开始，柏拉图和他的学生认为这个问题很容易。他们根据平时的经验，觉得利用尺规作图可以轻而易举地作一个正方形，使它的面积等于已知正方形的2倍，那么作一个正方体，使它的体积等于已知正方体体积的2倍，还会难吗?

折纸解法

首先将正方形三等分

将$p_1$折到$L_1$上，同时将$p_2$折到$L_2$上，则$p_1$折叠后的点将$L_1$分成两段，其长度之比$\frac X Y$即为$\sqrt[3]{2} $

为了简化计算，我们令$Y=1$，则正方形的边长即为$X+1$，由$\triangle ABC\sim\triangle EDA$有

$\frac { d } { X + 1 - d } = \frac { 2 X - 1 } { X + 1 } \Rightarrow \frac { X ^ { 2 } + 2 X } { X ^ { 2 } + 2 X + 2 } = \frac { 2 X - 1 } { X + 1 }$

$\Rightarrow X ^ { 3 } + 3 X ^ { 2 } + 2 X = 2 X ^ { 3 } + 3 X ^ { 2 } + 2 X - 2 \Rightarrow X ^ { 3 } = 2$

所以$X=\sqrt[3]{2} $

由此我们将结论一般化

设$OA = a,OB = 1,CP=x,CQ=y $

在$\text{Rt} \triangle APQ$和$\text{Rt} \triangle PQB$中用两次射影定理，得

用折纸解三次方程

折纸公理6(双点到线)

折纸公理6是欧氏几何所没有的，折纸操作与欧氏几何相比其最大的魅力就在于折叠过程借用了三维空间。也就是说，欧氏几何作图是在刚性的平面上用直尺和圆规来完成的，而在折纸操作中虽然不用任何作图工具，但折叠过程移动了”平面”

已知两点和两条相交线，可以将其中一点折到一条直线上且同时让另一点落在另一条直线上。设 $l_1$ 与$ l_2 $为两条相交直线，$P1$、$P2$为两个已知点， 将$ P_1 $折到直线$l_1$上同时让$P2 $落到$ l_2 $， 记为 $P_1 → l_1 ∧ P_2 → l_2$，记 P1 的落点为$ Q_1$，$P_2$的落点为 $Q_2$， 折痕为$m$

性质

由折叠的对称性可知$P{1} Q{2}=Q{1} P{2}$

所以$P{1} Q{1} P{2}Q{2}$为等腰梯形

所以关于同一折痕的两对对应点的连线是等腰梯形

特殊性

折纸公理6是欧氏几何所没有的，折纸操作与欧氏几何相比其最大的魅力就在于折叠过程借用了三维空间。也就是说，欧氏几何作图是在刚性的平面上用直尺和圆规来完成的，而在折纸操作中虽然不用任何作图工具，但折叠过程移动了”平面”

方法的构造

试想一下，我们要解下面的三次方程式，求一个实根

$ax^{3}+b x^{2}+c x+d=0$

我们从原点$O$开始沿$x$轴正方向画一条长为$a$的线段，然后逆时针旋转$90^\circ$，向上延伸长度$b$，重复，逆时针旋转$90^\circ$，延伸长度$c$，然后再旋转$90^\circ$延伸长度$d$最后停留在点$T$

注意如果系数为负，仍要逆时针旋转$90^\circ$再延伸负长度，即方向相反。如果系数为$0$就原地旋转，但不要往前延伸

我们可以编程实现系数的构建

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int dir[4][2] = { 1,0,0,1,-1,0,0,-1 };//旋转向量
int var[4] = { 1,0,-7,-6 };//三次方程的系数
int point[2] = { 0,0 };//点目前的坐标

int main() {
	for (int i = 0; i < 4; i++) {
		point[0] = point[0] + var[i] * dir[i][0];//点的x坐标
		point[1] = point[1] + var[i] * dir[i][1];//点的y坐标
		cout << point[0]<<','<< point[1] <<endl;
	}
}

运行结果

求解

想象我们站在原点$O$射出一颗子弹，经过两边反射，最后击中点$T$

方法所描述的是，如果我们从点$O$开始，以角度$\theta$方向沿着子弹路径出发，成功的射中点$T$，那么$x=-\tan \theta$将是我们三次方程的一个根

实际上方法是一种通用的几何构造，他使人们可以找到任何一元多次方程的实根。它是由一名叫Eduard的奥地利工程师在十九世纪发现的，在折纸中能用它来解决一元三元方程的事实是由意大利数学家Margherita在20世纪30年代发现的

正确性

由图中三个三角形都相似可得

$ { \angle p1 O q { 1 } = \angle p { 2 } q { 1 } q { 2 } = \angle p { 3 } q _ { 2 } T = \theta } $

首先观察$\triangle O p{1} q{1}$

$ { \tan \theta = \frac { q { 1 } A } { a } \Rightarrow q { 1 } p _ { 1 } = a \tan \theta } $

$ { p { 2 } q { 1 } = p { 2 } p { 1 } - p { 1 } q { 1 } = b - a \tan \theta } $

然后观察$\triangle q{1} p{2} q_{2}$

$ { \tan \theta = \frac { q2 p { 2 } } { p { 2 } q { 1 } } \Rightarrow q { 2 } p { 2 } = \tan \theta \cdot p { 2 } q { 1 } = b \cdot \tan \theta - a \tan ^ { 2 } \theta } $

$ { p { 3 } q { 2 } = p { 3 } p { 2 } - q { 2 } p { 2 } = c - b \cdot \tan \theta + a \cdot \tan ^ { 2 } \theta } $

最后观察$\triangle q{2} p{3} T$

$d = p { 3 } q { 2 } \cdot \tan \theta = c \tan \theta - b \tan ^ { 2 } \theta + a \tan ^ { 3 } \theta$

$a ( - \tan \theta ) ^ { 3 } + b ( -\tan \theta ) ^ { 2 } + c ( -\tan \theta ) + d = 0$

所以$x=- \tan \theta$是方程$ax^{3}+b x^{2}+c x+d=0$的解

如果系数为负数那怎么办呢？

对于$a x^{3}+b x^{2}-c x+d=0$

我们可以画出下面的图像

现在证明$x=-\tan \theta$也是方程的解

$\operatorname{In} \triangle O p{1} q{1},-x=\tan \theta=\frac{p{1} q{1}}{a}=\frac{b+q{1} p{2}}{a}$

$\Rightarrow q{1} p{2}=-a x-b$

$\text { In } \triangle q{1} p{2} q{2},-x=\tan \theta=\frac{p{2} q{2}}{q{1} p{2}}=\frac{c+p{3} q_{2}}{-a x-b}$

$\Rightarrow p{3} q{2}=-x(-a x-b)-c$

$\operatorname{In} \triangle q{2} p{3} T,-x=\tan \theta=\frac{d}{p{3} q{2}}=\frac{d}{-x(-a x-b)-c}$

$\Rightarrow-a x^{3}-b x^{2}+c x=d $

$\Rightarrow a x^{3}+b x^{2}-c x+d=0 $

证明完毕

使用GeoGebra模拟

$x=-1$

$x=-2$

$x=3$

使用折纸解决

第一步前进$a$的同时再前进$a$，折出$L_1$；最后一步前进$d$的同时后退$d$，折出$L_2$

因为${Op_1}={q_1p’}=a$

易得$\triangle{Op_1q_1} \cong \triangle{q_1p’O’}$

故${q_1q_2}$垂直平分${OO’}$，即$\angle Oq_1q_2=\frac \pi 2$

$\because {Oq_1}\;/\kern -0.8em /\;{Tq_2}$

$\therefore \angle Tq_2q_1=\frac \pi 2$

所以$x=- p_1q_1/Op_1$为方程的解

示意图

构造参数

$x=-1$

$x=-2$

$x=3$

方法还可以用来解五次方程，如下图

微分方程

通过某些变量的变化率来求出原始函数的表达式 变化率比较好表达

例如

1. 例如自由落体，物体始终受重力，加速度为$g$

   $$\begin{array}{c} \ddot{y}(t)=-g \quad \dot{y}(t)=-g t+v_{0} \\ y(t)=-(1 / 2) g t^{2}+v_{0} t+y_{0} \end{array}$$

   如已知位移对时间的二阶导数，则可以对两边积分，得到一阶导数和原始函数

2. 天体运动，引力大小和方向都在变化，用如下微分方程来描述

   $${F_{1}=m_{1} \overrightarrow{\mathbf{a}}_{1}}=G m_{1} m_{2}\left(\frac{\overrightarrow{\mathbf{x}}_{2}-\overrightarrow{\mathbf{x}}_{1}}{\left\|\overrightarrow{\mathrm{x}}_{2}-\overrightarrow{\mathbf{x}}_{1}\right\|}\right)\left(\frac{1}{\left\|\overrightarrow{\mathbf{x}}_{2}-\overrightarrow{\mathbf{x}}_{1}\right\|^{2}}\right)$$

如何求解微分方程

$example:$有阻尼的简谐运动

定义弹簧的回复力$f$

定义阻力$R$,阻力大小和速度大小成正比，方向与速度方向相反

由牛顿第二定律得

为了将二阶导数前的系数归一化，令

化简得

这就是在有阻尼的情况下,物体自由振动的微分方程

$lemma1:$

如果函数$ y{1}(x) 与 y{2}(x) $是方程的两个解,那么$y=C{1} y{1}(x)+C{2} y{2}(x)$也是方程的解,其中 $ C{1}, C{2} $是任意常数.

$proof:$

暴力带入

$lemma2:$

对二阶常系数齐次线性微分方程

其特征方程为

当

其两解为

故微分方程两解为

利用欧拉公式

得

由$lemma1$

$\bar{y}{1},\bar{y}{2}$都是方程的解

表明两解线性无关

故方程的通解为

$\rm start:$

初值条件

特征方程

本文只讨论小阻尼情况$n<k$

由$lemma2$

带入初值条件

辅助角

物体的运动是周期为$T=\frac{2 \pi}{\omega} $ 的振动。但与简谐振动不同它的振幅 $A \mathrm{e}^{-n t} $随时间 $t$ 的增大而逐渐域小,因此,物体随时间 $t$ 的增大而趋于平衡位置

图像

合成氨

我的的寒假化学论文

德国化学家舒尔茨曾赞誉道：“自然界除水之外, 氮是生长、发展和创造最有力的推动者。”虽然氮气在空气中占据最多的比例，但是我们却无法直接通过呼吸来摄入氮元素，只能通过食物来满足人体对必需常量元素氮的需求。

生态系统中的氮元素通常以氨或氨盐的形式被固定，经过硝化作用形成亚硝酸盐或硝酸盐，然后被绿色植物吸收并转化成为氨基酸，从而合成植物蛋白，食草动物可利用植物蛋白质合成动物蛋白质。人类通过对植物蛋白或动物蛋白的摄入，从而满足自身对氮元素的需求。最后动物的排泄物和动植物残体经细菌的分解作用形成氨、$\rm CO_2$和水,排放到土壤中的氨又经细菌的硝化作用形成硝酸盐,被植物再次吸收、利用合成蛋白质，从而构成完整的氮循环。 但是，生态系统中氮大多以氮气的形式存在，为了让空气中的氮变得可以食用，自然界中只能依靠固氮细菌来完成氮气到植物所需要的亚硝酸盐的转变。同时，少量的动物的排泄物也被应用在碳循环中，如给庄稼施农家肥，但远远达不到人类需求。

直到合成氨的出现，打破了这一僵局，加快氮循环的同时也促进了人类的发展。

1774年，英国化学家普利斯特利首次通过加热氯化铵与熟石灰制备了氨气，而且在那个时候他已经知道了氨气显碱性或者至少溶解在水里呈碱性，因此他把氨气叫做碱空气。十年以后也就是1784年，还是法国科学家，贝托莱证明了氨是由氢与氮组成的。

十九世纪中期，也就是鸦片战争前后，随着农业科学的发展，人们已经认识到氮源对植物生长的重大意义，有意识地使用氨作为人工氮源提升农产品产量。这时候的氨来自于煤化工，因为煤里含有$\rm 1\%\sim2\%$的氮，在炼焦过程中，这些氮会转化为氨气，存在于煤气中，将这些煤气通入水中或者用硫酸吸收就得到了硫酸铵。这可以说这是人类最早制备铵肥的方法。

到了1898年，德国化学家首先采用化学方法完成了合成氨，其具体的合成方法是把电石$\rm CaC_2$ 与氮气在1000摄氏度的高温下加热合成氰氨化钙 ，即石灰氮，反应方程式为：

再用过热水蒸汽进行水解，分解为碳酸钙与氨气。

这种方法在20世纪头十年内非常盛行，年产量一度达到50万吨左右。但是这种方法缺点还是非常大的，电石不便宜，而且反应温度高，反应结束后还有碳酸钙作为废料产生。

就在全人类都开始迷茫的时候，热力学终于登场了，热力学大发展在19世纪中叶时期，其中热力学第二定律主要用于预测热力学体系发生变化的方向与可以到达的程度。在一系列努力下，人们开始尝试采用热力学预测化学反应发生的可能性与程度。为这方面做出突出贡献的是吉布斯与亥姆霍兹，他们相继提出了自由能的概念。

终于时间来到了1908年，合成氨的突破终于来临。德国化学家哈伯，通过一系列的计算预测了不同温度，不同压力下合成氨的转化率与平衡浓度，随后又通过大量实验进行验证。通过以上工作哈伯认识到，过去之所以采用氮气与氢气直接合成无法取得良好的效果，主要归咎于以下几个原因。首先由于热力学的限制，这个反应单程转化率非常低，为了提高整体转化率，必须让反应气体在高压高温下进行循环，同时在循环的过程中还要想方法将氨气进行分离。其次，反应活化能非常高，反应速度非常慢，因此需要配合有效的催化剂，才能经济地进行合成氨反应。

反应所需的氢气主要来源于固体燃料、重质烃、轻质烃或气体烃加热至高温并与水蒸气反应生产含氢和一氧化碳为主的水煤气。第一步先把原料中的硫化物清除，是因为硫化物会毒害哈伯法所使用的催化剂。催化加氢可以把有机硫化物(如硫醇)变成硫化氢

产生的硫化氢会被氧化锌吸收，变成水和硫化锌：

在镍的催化下与水反应，经脱硫的碳氢化合物(如甲烷)转变成氢气和一氧化碳的混合物：

一氧化碳进一步与水蒸气变换为氢气和二氧化碳：

制备氢的最后步骤是以使用催化剂的甲烷化移除在氢气中残留的少量一氧化碳及二氧化碳:

通过液化并分馏空气除去氧气得到氮气。得到的合成气还需经过纯化将残余的硫和碳的化合物脱除以防止催化剂中毒，即原料气的净化。之后合成气经过压缩达到合成氨需要的压力，最后送进反应塔进行反应，由于合成氨的转化率较低，原料气可以回收再利用。

在1913年9月9日哈伯实现了氨生产的工业化，起初氨的日产量只有$3\sim5t$。随着工艺条件的改善，1917年的氨年产量已超过$60000t$。凭借合成氨对人类做出的巨大贡献，哈伯获得了1918年度诺贝尔化学奖。

哈伯的一生非常具有争议性，一方面他是合成氨的创始人，另一方面他是第一个在战争中提出使用化学武器的人，这次行动导致了约2万人伤亡，主流上还是对他呈批判态度的。但是回顾历史，枪弹与核弹杀死的人远远多于化学武器，被燃烧弹烧死者死状更是悲惨百倍，但是这些武器的发明人大都得以善终。哈伯本人是犹太人，因此希特勒上台后也受尽迫害，最终死于逃亡的路上。

折叠三次曲线

取一张纸，选取一个定点$p_1$并在纸的下边上任选一点$p_1^ { \prime }$

折叠，使$p_1$和$p_1^ { \prime }$重合，标注$p_2$所对应的位置

展开，便得到了$p_2$关于折线的对称点$p_2^ { \prime }$

我们可以借助$GeoGebra$去研究$p_2’$的轨迹

看起来很有意思，那么这个轨迹的方程是什么呢？

分析

像抛物线折叠建立坐标系

折线的方程和抛物线折叠一模一样，为

${ y = \frac { t } { 2 } x - \frac { t ^ { 2 } } { 4 } }$

又$ p p { 1 } ^ { \prime }$和$p { 2 } p _ { 2 } ^ { \prime }$都垂直于折线，所以

$ { k { p p { 1 } ^ { \prime } } = k { p { 2 } p _ { 2 } ^ { \prime } } } $

$ { \frac { - 1 - 1 } { t } = \frac { y - b } { x - a } \Rightarrow - \frac { 2 } { t } = \frac { y - b } { x - a } } $

解出$t$

$ { t = - \frac { 2 ( x - a ) } { y - b } = \frac { 2 ( a - x ) } { y - b } } $

设$p2^{\prime}$坐标为$(x,y)$，则$p { 2 } p _ { 2 } ^ { \prime }$中点坐标为

$ { ( \frac { x + a } { 2 } , \frac { y + b } { 2 } ) } $

因为这两点关于折线对称，故中点在折线上，带入得

$ { \frac { a - x } { y - b } \cdot ( \frac { x + a } { 2 } ) - ( \frac { a - x } { y - b } ) ^ { 2 } = \frac { y + b } { 2 } } $

化简得

$ { ( a ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) \cdot ( y - b ) - 2 ( a - x ) ^ { 2 } = ( y + b ) ( y - b ) ^ { 2 } } $

$ y ^ { 3 } + x ^ { 2 } y - b y ^ { 2 } + ( 2 - b ) x ^ { 2 } - b y ^ { 2 } - 4 a x - ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) y + a ^ { 2 } b + 2 a ^ { 2 } + b ^ { 3 } = 0$

这显然是一个三次曲线的方程

斜率与三次方程的解

对任意三次方程$x^{3}+a x^{2}+b x+c=0$，我们可以令$z=x-\frac{1}{3} a$，于是方程便转换为

$z^{3}+\frac{3 b-a^{2}}{3} z-\frac{9 a b-27 c-2 a^{3}}{27}=0$

从而从$x^{3}+a x^{2}+b x+c=0$转化到了$x^{3}+ ax+b=0$

考虑两条抛物线

$l_1:\,\left(y-\frac{1}{2} a\right)^{2}=2 bx \quad and \quad l_2:\,y=\frac{1}{2} x^{2}$

设$\ell$为这两个抛物线的共同切线，斜率为$m$，且与$l1$相切与$\left(x{1}, y{1}\right)$，与$l_2$相切与$\left(x{2}, y_{2}\right)$

对$l_1$两边同时求导

$ { y ^ { 2 } - a y + \frac { 1 } { 4 } a ^ { 2 } = 2 b x } $

$ { 2 y \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} - a \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + 0 = 2 b } $

整理得

$ { \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac { 2 b } { 2 y - a } = \frac { b } { y - \frac { 1 } { 2 } a } } $

带入$y_1$

$y_{1}-\frac{1}{2} a=\frac{b}{m}$

所以我们可以用$m$表示$x_1$和$y_1$

$x{1}=\frac{\left(y{1}-\frac{1}{2} a\right)^{2}}{2 b}=\frac{\left(\frac{b}{m}\right)^{2}}{2 b}=\frac{b}{2 m^{2}}$

$y_{1}=\frac{b}{m}+\frac{a}{2}$

同理，对$l_2$求导得

$x_{2}=m$

$y_{2}=\frac{m^{2}}{2}$

我们知道，过$\left(x{1}, y{1}\right)$和$\left(x{2}, y{2}\right)$的直线斜率为

$m=\frac{y{2}-y{1}}{x{2}-x{1}}$

带入得

$m=\frac{y{2}-y{1}}{x{2}-x{1}}=\frac{\frac{m^{2}}{2}-\left(\frac{b}{m}+\frac{a}{2}\right)}{m-\frac{b}{2 m^{2}}}=\frac{m^{4}-2 b m-a m^{2}}{2 m^{3}-b}$

即

$m^{3}+a m+b=0$

说明$m$为方程$x^{3}+ ax+b=0$的解

尝试求解$x^3-7x-6=0$，先构造两个抛物线

注意$g$的斜率

$x=-2$

$x=-1$

$x=3$

于是我们便获得了这个三次方程的三个解$x=-2,-1,3$

那么，怎么用折纸的方法构造呢？

容易看出，$l_1$的焦点为$(\frac b 2,\frac a 2)$，准线为$x=-\frac b 2$，$l_2$的焦点为$(0,\frac{1}{2})$，准线为$y=-\frac{1}{2}$

根据上一节的抛物线折叠的性质，我们同时分别将点$(\frac b 2,\frac a 2)$折到$x=-\frac b 2$上，将点$(0,\frac{1}{2})$折到$y=-\frac{1}{2}$上，所形成的折现即为两条抛物线的共同切线，至于为什么可以做到，我们将在下一节讨论折纸公理六时详细阐述。

三次函数

拐点

川崎定理(The Kawasaki-Justin Theorem)

$a=90^{\circ}, b=45^{\circ}, c=90^{\circ}, d=135^{\circ}$

$a-b+c-d=90^{\circ}-45^{\circ}+90^{\circ}-135^{\circ}=0^{\circ}$

还是假设一只蚂蚁在纸上爬行

定义$\alpha{2n-1}>0$，$\alpha{2n}<0$

爬行一周过后，蚂蚁回到了原点，位移为0，即图中

$\alpha{1}-\alpha{2}+\alpha{3}-\alpha{4}=0$

由偶数定理，推广这个结论

$\alpha{1}-\alpha{2}+\alpha{3}-\cdots-\alpha{2 n}=0$

更简洁的表述为

$\sum(-1)^{i} \alpha_{i}=0$

$\because \sum \alpha_{i}=360^{\circ}$

$\therefore \alpha{1}+\alpha{3}+\cdots+\alpha{2 n-1}=\alpha{2}+\alpha{4}+\cdots+\alpha{2 n}=180^{\circ}$

局部最小定理(Local Min)：

考虑角$\theta{i}$和与之相邻的两个角$\theta{i-1}$和$\theta_{i+1}$，如果有

$\theta{i-1}>\theta{i}<\theta_{i+1}$

则称$\theta_{i}$为局部最小角，这个局部最小角对应的两条折痕必然是一山一谷(下图)

$proof:$

如果两条边都是山折(谷折)，那么将会穿破纸层(上图)

折纸与迭代函数系统

折叠

按如下图折叠

观察图$(14)$，可以看出它形成了一个螺旋

建系

展开，观察折痕图，以纸的左下角为原点建立坐标系

再把螺旋放在坐标系之中

观察右侧图形可以得到$y=\sqrt{2}-1$，$AB=1-y=2-\sqrt{2}=OA$

在继续之前，我们先了解一下旋转矩阵

旋转矩阵

对于任意点$(x,y)$，我们在极坐标系中表示为

$\left{\begin{array}{l}
x=r \cos \phi \
y=r \sin \phi
\end{array}\right.$

如果把它绕原点旋转$\theta$角，可以得到旋转后的点在直角坐标系中的坐标为

$\left{\begin{array}{l}
x^{\prime}=\operatorname{rcos}(\phi+\theta)=r \cos \phi \cos \theta-r \sin \phi \sin \theta=x \cos \theta-y \sin \theta \
y^{\prime}=r \sin (\phi+\theta)=r \cos \phi \sin \theta+r \sin \phi \cos \theta=x \sin \theta+y \cos \theta
\end{array}\right .$

写成矩阵形式

$\left(\begin{array}{l}
x^{\prime} \
y^{\prime}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
\cos \theta & -\sin \theta \
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \
y
\end{array}\right)$

所以旋转矩阵$\mathbf{R}_{\theta}$为

$\mathbf{R}_{\theta}=\left(\begin{array}{l}
\cos \theta & -\sin \theta \
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right)$

理解旋转矩阵是我们接下来讨论的基础

分析

我们将螺旋透视化

容易看出$\triangle OEB\sim \triangle ABD\sim \triangle CDF\cdots $

相似比为$\lambda= \frac {AB} {OE}=2-\sqrt 2$

观察$x$轴的基向量$\hat{\imath}=\overrightarrow{OE}$从$\overrightarrow{OE}$变化到$\overrightarrow{AB}$的过程，我们可以发现，实际上$\overrightarrow{OE}$先乘了缩小因子$\lambda $变为了$\overrightarrow{OA}$，再绕着原点$O$逆时针旋转了$45^{\circ} $，最后沿原基向量$\overrightarrow{OE}$方向平移了$\lambda\overrightarrow{OE}$，便得到了变换后$x$轴的基向量$\hat{\imath}^{\prime}=\overrightarrow{AB}$

我们可以把这个仿射变换过程用矩阵形式表示

$F(x, y)=\left(\begin{array}{ll}
a & b \
c & d
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \
y
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
e \
f
\end{array}\right)$

其中的线性变换矩阵为

$\begin{aligned}
\left(\begin{array}{ll}
a & b \
c & d
\end{array}\right) &=(2-\sqrt{2})\left(\begin{array}{cc}
\cos 45^{\circ} & -\sin 45^{\circ} \
\sin 45^{\circ} & \cos 45^{\circ}
\end{array}\right) \
&=\left(\begin{array}{ll}
2-\sqrt{2}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right)=(\sqrt{2}-1)\left(\begin{array}{cc}
1 & -1 \
1 & 1
\end{array}\right)
\end{aligned}$

所以我们的变换函数为

$F(x, y)=(\sqrt{2}-1)\left(\begin{array}{cc}
1 & -1 \
1 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x \
y
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
2-\sqrt{2} \
0
\end{array}\right)$

分析

迭代函数系统iterated function systems (IFS)

迭代函数系统（Iterated Function System，IFS）是分形理论的重要分支 。它以仿射变换为框架，根据几何对象的整体与局部具有自相似的结构，将总体形状以一定的概率按不同的仿射变换迭代下去，直至得到满意的分形图形。相比较分形几何学，IFS与集合论关系更为密切。IFS在1981年提出。

python程序例子

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

import random
import matplotlib.pyplot as plt

x = 0
y = 0
for n in range(1500):
    r = random.random()
    r = r * 100
    xn = x
    yn = y
    if r < 1:
        x = 0
        y = 0.16 * yn
    elif r < 86:
        x = 0.85 * xn + 0.04 * yn
        y = -0.04 * xn + 0.85 * yn + 1.6
    elif r < 93:
        x = 0.20 * xn - 0.26 * yn
        y = 0.23 * xn + 0.22 * yn + 1.6
    else:
        x = -0.15 * xn + 0.28 * yn
        y = 0.26 * xn + 0.24 * yn + 0.44
    plt.scatter(x, y,s=6,c='g',alpha=0.7)
plt.show()

基于IFS机械式重复来生成图形的性质，我们可以利用计算机来模拟折叠的过程

实现

用MATLAB实现

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

R_45=[0.7071   -0.7071 ; 0.7071    0.7071] ;%45°旋转矩阵
p=[1 ; 0];%初始点
move=[2-sqrt(2);0];%偏移量
for i=1:100
    pprime=(2-sqrt(2))*R_45*p+move;%变换后的点
    scatter(pprime(1),pprime(2),'filled')%描点
    line([p(1) pprime(1)],[p(2) pprime(2)])%连线
    hold on
    p=pprime;%更新
    disp(p)
    hold on
    grid on
end
xlim([.5 1.2])
ylim([0 .7])
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';%坐标轴
ax.YAxisLocation = 'origin';

结果

由图形可以看出，螺旋好像趋于一个特定的点，那么它的坐标是什么呢？

寻找不动点

在数学中，函数的不动点或定点是指被这个函数映射到其自身一个点

在我们的变换函数中如果有一个点经过函数变换后得到的仍是其本身，那我们的图形就不再前进，这个点就是不动点

写成矩阵形式为

$\left(\begin{array}{c}
x \
y
\end{array}\right)=(\sqrt{2}-1)\left(\begin{array}{cc}
1 & -1 \
1 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x \
y
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
2-\sqrt{2} \
0
\end{array}\right)$

化简得

$ \left(\begin{array}{c}x \y\end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} ( \sqrt { 2 } - 1 ) ( x - y ) + 2 - \sqrt { 2 } \ ( \sqrt { 2 } - 1 ) ( x + y )\end{array}\right)$

于是得到一个二元一次方程组

$\left{\begin{array}{l}
(\sqrt { 2 } - 2 ) x - ( \sqrt { 2 } - 1 ) y + 2 - \sqrt { 2 } = 0 \
(\sqrt { 2 } - 1 ) x + ( \sqrt { 2 } - 2 ) y = 0
\end{array}\right.$

解得

$\left{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}\y=\frac{\sqrt{2}}{3}\end{array}\right.$

于是点$(\frac{2}{3},\frac{\sqrt{2}}{3})$就是我们要找的不动点

利用复数

考察$ e^{\mathrm{i}x} $的幂级数展开式的实部和虚部。用$\mathrm{i}$的幂以长度4循环$ 1, i,-1,-i, 1, \cdots$，所以有

$\begin{aligned}
\mathrm{e}^{\mathrm{i} x} &=1+\mathrm{i} x+\frac{(\mathrm{i} x)^{2}}{2 !}+\frac{(\mathrm{i} x)^{3}}{3 !}+\cdots \
&=\left[1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+\cdots\right]+\mathrm{i}\left[x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}+\cdots\right] \
&=\cos x+\mathrm{i} \sin x
\end{aligned}$

以下图的方式构造复平面

将螺旋透视化

由上面的分析可知，螺旋以右图的形式前进，$P0P_1+P_1P_2+P_2P_3+\cdots+P{n-1}P_{n}$即为$P_n$在复平面中的坐标

从$P_0P_1$到$P_1P_2$，就是先逆时针旋转$\frac \pi 4$，再乘上缩小因子$a= 2-\sqrt 2$，所以

$P_{1}=2-\sqrt{2}$

$P{2}=P{1}+a^{2} e^{(\pi/4) i}=a+a^{2} e^{(\pi/4) i} $

$P{3}=P{2}+a^{3} e^{2(\pi / 4) i}=a+a^{2} e^{(\pi / 4) i}+a^{3} e^{2(\pi / 4) i}$

不断迭代

$P_{n}=a+a^{2} e^{\frac{\pi}{4} i}+a^{3} e^{2 \frac{\pi}{4} i}+\cdots+a^{n} e^{(n-1) \frac{\pi}{4} i}$

当$n\to \infty$时，有

$P=a \sum_{n=0}^{\infty}\left(a e^{\frac{\pi}{4} i}\right)^{n}$

这是一个几何级数，所以

$\sum_{n=0}^{\infty} z^{n}=\frac{1}{(1-z)}$

其中

$\begin{aligned}z&=a e^{(\pi / 4) i}\&=(2-\sqrt{2})(\cos (\pi / 4)+i \sin (\pi / 4))\&=(2-\sqrt{2})((\sqrt{2} / 2)+(\sqrt{2} / 2) i)\&=
(\sqrt{2}-1)(1+i)\end{aligned}$

$a=2-\sqrt{2}=2 /(2+\sqrt{2})$

所以我们的不动点为

$\begin{aligned}P&=(2-\sqrt{2}) \frac{1}{1-(\sqrt{2}-1)(1+i)}\&=\frac{2}{2+\sqrt{2}} \frac{1}{(2-\sqrt{2})-(\sqrt{2}-1) i}\&=\frac{2}{2-\sqrt{2} i}\end{aligned}$

同时乘以共轭复数

这和我们用矩阵方法求解的答案是一样的

对数螺线

计算螺线上任意一点$P_n$到不动点$P$的距离

这是一个几何级数，而对数螺线的臂的距离以几何级数递增，所以螺线是对数螺线

实际上，它的方程在极坐标系中表示为

$r(\theta)=\frac{\sqrt{6}}{3}(2-\sqrt{2})^{\frac{4}{\pi}(\theta-\pi-\arctan (\sqrt{2} / 2))}$

这种折法在折纸艺术中非常常见，以下是几个折纸作品

镶嵌折纸作品欣赏

5.抛物线折叠

取一张纸，将边线当做线$L$，在纸上取点$P$，将$P$折叠到$L$上，对应点为$P’$，压出折痕，如下图所示

观察折痕所形成的图形

看上去像是一条抛物线，但我们需要严格证明

分析：

以$O$为原点建立坐标系，使得$p$点坐标为$(0,1)$，$p’$点的坐标为$(t,1)$，下面求折线的方程

因为折线$l$是$pp’$的中垂线

$\left. { k{pp^ { \prime }} = \frac { 2 } { t } } \ { k { l } = \frac { t } { 2 } } \ { y - 0 = \frac { t } { 2 } ( x - \frac { t } { 2 } ) } \ { y = \frac { t } { 2 } x - \frac { t ^ { 2 } } { 4 } } \right.$

这就是折线的方程

求解抛物线方程

带入法：

考虑折线上横坐标为$t$的一点$M$

将$t=x$代入折线方程

$y = \frac { x } { 2 } \cdot x - \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = \frac { x ^ { 2 } } { 4 }$

这就是当$p’$在$L$上运动时，点$M$的轨迹方程

切线法：

折线即为抛物线的切线

$\frac{d y}{d x}=\frac{x}{2}$

两边积分得

$y=\frac{x^{2}}{4}+C$

又当$p’=(0,-1)$时，函数过$O=(0,0)$，故$C=0$，即

$y=\frac{x^{2}}{4}$

包络线法：

将折线方程化成有三个变量的隐式方程

$\left. { 4 y = 2 t x - t ^ { 2 } } \ { t ^ { 2 } - 2 t x + 4 y = 0 } \ { F ( x , y , t ) = t ^ { 2 } - 2 t x + 4 y } \right.$

带入包络线线上方一点$(0,1)$

$F ( 0,1 , t ) = t ^ { 2 } - 0 + 4 > 0$

故图像被分为两个区域

这个关系是对任意的$t$都成立

考虑包络线上一点$(x_0,y_0)$，仅存在一个$t$使得$F(x_0,y_0, t)=0$，对其余$t$的题都有$F(x_0,y_0, t)>0$

所以$F(x_0,y_0, t)$对$t$有极值，又因为$(x_0,y_0)$必须在折线上，故

$\left{ \begin{array}{lr} F(x, y, t)=0 \ \frac{\partial}{\partial t} F(x, y, t)=0\end{array} \right.$

$\frac{\partial}{\partial t} F(x, y, t)=2 t - 2 x=0$

解得

$t=x$

将$t=x$代入隐式方程，同样得到

$y = \frac { x } { 2 } \cdot x - \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = \frac { x ^ { 2 } } { 4 }$

More examples

斜抛运动包络线：

性质

重新观察这张图，$\frac{Mp}{Mp^{\prime}}=e=1$，根据抛物线的第二定义

将$p$到$L$上所形成的折线便是以$p$为焦点，以$L$为准线的抛物线的一条切线，这个性质将在下一节中起到非常重要的作用。

苯酚

醇-醛(酮)-酸

遗传题(基因型,比例,形状)以下可逆推

看是什么遗传方式常,细胞质,$\rm XY$,$\rm ZW$

明确性状:常$\left{ \begin{gathered}
{\text{Ts:}同株} \hfill \
{\text{ts:}雌株} \hfill \
\end{gathered} \right.,\text{X}\left{ \begin{gathered}
{\text{A:}黑} \hfill \
{\text{a:}白} \hfill \
\end{gathered} \right.$

看这几对是否遵循自由组合(可乘)

看特殊比,找出基因与性状的关联

$2:1:5 \Rightarrow 2:(1 + 5) = 2 \times (1:3)$

$(3:1) = {(1:1)^2},(9:7) = {(3:1)^2}$

了解特殊致死异常不育等条件

通过乘法加法原理，配子法计算