变量

数据类型

用$\rm sizeof(element)$来显示字节数

1 2 3 4 5

(int)a; (int)(x+y); 强制类型转换,运算必须同类型 char c风格字符串 '' string c++风格字符串 ""

转义字符

1 2 3 4 5 6 7 8

\f 换页 \n 换行,下一行首 \r 回车,留在当前行首 \t Tab printf("shiwei\rpsw"); result: pswwei \\ 代表'\' 同理\",\?,\'

流

c

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

#include<stdio.h> f(format)格式 printf("s ss%f",5.0/3.0) s ss1.666667//空格也算 %d 十进制有符号整数 　　%u 十进制无符号整数 　　%f 浮点数 %lf double浮点数 　　%s 字符串 　　%c 单个字符 　　%p 指针的值 　　%e 指数形式的浮点数 　　%x, %X 无符号以十六进制表示的整数 %% 百分号 可以在"%"和字母之间的数字表示最大场宽。 例如: %3d 表示输出3位整型数, 不够3位右对齐 int v=25; printf("%8d",v); 25 %9.2f 表示输出场宽为9的浮点数, 其中小数位为2, 整数位为6, 小数点占一位, 不够9位右对齐(包括小数点) %.0f 四舍五入保留整数 %8s 表示输出8个字符的字符串, 不够8个字符右对齐。 输出 string 对象中的字符串，可以使用 string 的成员函数 c_str() ，该函数返回字符串的首字符的地址 string v="psw"; printf("%8s",v.c_str()); psw char v[10]="psw"; 字符数组 如果需要用0补位的话，这样写 printf("%03d",a); scanf("%d%d",&a,&b) &是取址运算符,告诉变量存在哪里

c++

1 2 3 4 5 6 7 8 9

#include<iostream> int a; cin>>a; cout<<a; cin,cout输入输出流 >>提取 <<插入 \endl换行

运算

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

cout<<8/3; 5 cout<<8.0/3 2.66667 stream manipulator操作器,操纵符 #include<iomanip> setbase(n) 设置整数为n进制(n=8,10,16) cout<<setprecision(8)<<8.0/3; 2.6666667 cout<<fixed<<setprecision(8)<<8.0/3; 2.66666667\\八位小数 cout << std::setw(3) << x << '\n';//set width cout.imbue(locale(""));//1,000,000,000 //括号内的为国家(按国家习惯输出) %取模

$$\rm << 左移(二进制表示)=\times 2\\ >>右移=/2(floor)\\ \sim 按位非\quad 遇1则0,遇0则1\\ \& : 按位与 \quad 全1才1，否则为0\\ |:按位或\quad 有1就为1\\ ^\wedge :按位异或\quad 相同为1$$

位运算可和数字和bool一起，而逻辑运算只有bool

赋值

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

int a,b; a=b=3;;简单赋值 += -= *= /=(复合算术赋值) &= |= ^\ >>= <<=(复合位运算赋值) i++/++i(先自增再运算) 常量 const int X=2; int i; char i1='i'; i1-=32; i='i'; cout<<i<<endl; cout<<i1; -32变大写 输出ASCII码(哈希表)

$$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$$ $$\begin{array}{|c|c|} \hline \sin\theta&\cos\theta&\tan\theta&\cot\theta\\ \hline y/r& x/r&y/x&x/y \\ \hline \end{array}$$

同角三角函数

$$\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$ $$\boxed{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1}$$

两角

$$\sin (\alpha\pm\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta\pm\cos \alpha \cdot \sin \beta \\ \cos (\alpha\pm\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta\mp\sin \alpha \cdot \sin \beta \\ \\ \tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta} \\ \tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \cdot \tan \beta}$$

倍角

$$\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha \\ \begin{aligned} \cos 2 \alpha&=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha\\&=2 \cos ^{2} \alpha-1\\&=1-2 \sin ^{2} \alpha\end{aligned}$$

半角

$$\cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2}$$ $$\sin ^{2} \alpha=\frac{1+\sin 2 \alpha}{2}=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2}$$ $$\begin{array}{l} \tan \alpha&=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\\& =\frac{\sin^2\alpha}{\cos \alpha\sin \alpha}=\frac{1-\cos 2 \alpha}{\sin 2 \alpha}\\& =\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2 \alpha} =\frac{\sin 2 \alpha}{1+\cos 2\alpha}\end{array}$$ $${\begin{aligned}\tan \frac {\theta }{2}&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\&=\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }\\&=\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }\\&=\frac {\cos \theta +\sin \theta -1}{\cos \theta -\sin \theta +1}\end{aligned}}$$

万能

$$\boxed{\sin 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}, \quad \cos 2 \alpha=\frac{1-\tan ^{2} \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}, \quad \tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha} }$$ $$\sin \alpha=\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}+\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}=\frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}}=\frac{2 t}{1+t^{2}}\\ \cos \alpha=\frac{\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}}{\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}+\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\\\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}}=\frac{2 t}{1-t^{2}}$$

和差化积

$$\begin{array}{l} \sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}\\ \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}\\ \cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}\\ \cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \end{array}$$

积化和差

$$\begin{array}{l} \sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)] \\ \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)] \\ \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha-\beta)+\cos (\alpha+\beta)] \\ \sin \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta)] \end{array}$$

辅助角

$$a \sin \alpha \pm b \cos \alpha=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin (\alpha \pm \varphi) \text { 其中 } \tan \varphi=\frac{b}{a}(a \neq 0)\\ \sin \varphi=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \cos \varphi=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$

解三角形

$$\cos C = \frac{a^2} + {b^2} - {c^2}{2ab} = \frac{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }{|a| \cdot |b|}\\ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\\ {S_{\triangle} = \frac{1}{2}xh = \frac{1}{2}ab\sin C =\frac{1}{2}Cr}$$ $$\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\ \\\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha \\\boxed{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1}\\ \begin{aligned} \cos 2 \alpha&=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha\\&=2 \cos ^{2} \alpha-1\\&=1-2 \sin ^{2} \alpha\end{aligned}$$

向量

$$\vec {AB}=(x,y),\displaystyle |{\overrightarrow {AB}}|=\sqrt {x^2 + y^2}\\ \overrightarrow a \pm \overrightarrow b = ({x_1} \pm {x_2},{y_1} \pm {y_2})\\ \begin{aligned} \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b &= {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\\&=\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left\langle {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right\rangle \\&=\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot l_{a在b上的投影} \end{aligned}\\ \begin{aligned} \overrightarrow a \times \overrightarrow b &= {x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}\\&=\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \sin \left\langle {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right\rangle \\&=S_{平行四边形} \end{aligned}\\$$

奔驰定理

复数

$$|z|=|a+b\mathrm{i}|=\sqrt{a^2+b^2}$$ $$(a+b\mathrm{i})\pm (c+d\mathrm{i})=(a\pm c)+(b\pm d)\mathrm{i}\\(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm{i}\\\frac{a+b\mathrm{i} }{c+d\mathrm{i} }=\frac{(a+b\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}{(c+d\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)\mathrm{i} }{c^2+d^2}$$ $$z = a + b\text{i} = r(\cos \theta + \text{isin}\theta ) = re^{\text{i}\theta }$$

导数

基本公式

$$(x^a)'=ax^{a-1}\\ (a^x)'=\ln a \cdot a^x \\(\log_ax)'=\frac{1}{\ln a\cdot x }\\ (\sin x)'=\cos x\\ (\cos x)'=-\sin x$$ $$[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x) \\ [f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\ \left (\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$ $$[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$

放缩

$$1-\frac1x\le\ln x\le x-1\\ \ln x\le \frac xe \\e^x\ge x+1\\e^x\ge ex \\x e^{x} \geq x+\ln x+1\\ e^{x-1-\ln x}=\frac{e^{x-1}}{x} \geq x-\ln x\Leftrightarrow e^{x-1} \geq x^{2}-x \ln x$$

导数

基本公式

$$(x^a)'=ax^{a-1}\\ (a^x)'=\ln a \cdot a^x \\(\log_ax)'=\frac{1}{\ln a\cdot x }\\ (\sin x)'=\cos x\\ (\cos x)'=-\sin x$$ $$[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x) \\ [f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\ \left (\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$ $$[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$

放缩

$$1-\frac1x\le\ln x\le x-1\\ \ln x\le \frac xe \\e^x\ge x+1\\e^x\ge ex \\ x=\ln e^x=e^{\ln x}$$

积分

$$\int k \mathrm{~d} x=k x+\mathrm{C}$$ $$\int x^{k} \mathrm{~d} x=\frac{x^{k+1}}{k+1}+\mathrm{C}$$ $$\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln |x|+\mathrm{C}(x \neq 0) \\ \int \sin x \mathrm{~d} x=-\cos x+\mathrm{C} \\ \int \cos x \mathrm{~d} x=\sin x+\mathrm{C} \\ \int \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{C}$$

楼梯有$n$阶，上楼可以一步上$1$阶，也可以一步上$2$阶，

求上$n$阶台阶的方法数$F_n$

分析：要上$n$阶台阶，可以上了$n-2$阶后再上$2$阶，

也可以上$n-1$阶后再上$1$阶

写成数学语言

$$\color{red}F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$$ $$F_{n}+\lambda F_{n-1}=(1+\lambda)(F_{n-1}+\lambda F_{n-2})\\ F_{n}=F_{n-1}+(1+\lambda)\lambda F_{n-2}\\$$ $$\lambda^2+\lambda=1$$ $$\begin{cases}\lambda_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\\lambda_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{cases}\Rightarrow \{ {F_n} + \lambda {F_{n - 1}}\}$$

是公比为$1+\lambda $的等比数列

$$F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]$$

某班级在一次植树种花活动中负责对一片圆环区域栽植鲜花,该圆环区域被等分$ n$个部分$(n\geqslant 4 )$,每个部分从红,黄,蓝三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植,要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花。将总的栽植方案数用$ a{n} $表示,则 $ a{4}=\underline{\quad\quad}$;$ a_{n}=\underline{\quad\quad}$

$1$和$n$颜色不同$\rightarrow a_n$

$1$和$n$颜色相同，把$1$和$n$看成一个部分$\rightarrow a_{n-1}$

$$a_n+a_{n-1}=3\times(-2)^{n-1}(n>1)$$ $$\begin{gathered} {a_n} + \lambda \cdot {2^n} = - ({a_{n - 1}} + \lambda \cdot {2^{n - 1}}) \hfill \\ - (\lambda + 2\lambda ) = 3 \Rightarrow \lambda = - 1 \hfill \\ \end{gathered}$$

${ {a_n} - {2^n}}$是公比为$-1$的等比数列，$a_2=6$

$$\begin{gathered} {a_n} - {2^n} = ({a_2} - {2^2}) \cdot {( - 1)^{n - 2}} \hfill \\ {a_n} = {2^n} + 2 \times {( - 1)^{n - 2}} = {2^n} + 2 \times {( - 1)^n} \hfill \\ \end{gathered}$$ $$a_{n+1}=p a_{n}+a n^{2}+b n+c(p \neq 1,0)\\ \Rightarrow a_{n+1}+x(n+1)^{2}+y(n+1)+z=p\left(a_{n}+x n^{2}+y n+z\right)$$

数列

等差数列

$$a_n=a_1+(n-1)d \\S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2=na_1+\frac{n(n-1)}2d$$

等比数列

$$a_n=a_1q^{n-1}$$ $$S_n=\begin{cases}\frac{a_1(1-q^n )}{1-q },(q\ne1)\\na_1,(q=1)\end{cases}\\ \lim_{x \to \infty} S_n=\frac{a_1}{1-q}$$

通项

不动点

$$a_{n+1}=pa_n+q \Rightarrow x_0=px_0+q \Rightarrow a_{n+1}-x_0=p(a_n-x_0)$$

待定系数

$$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}\\ \Rightarrow a_{n+2}+\lambda a_{n+1}=(p+\lambda)(a_{n+1}+\lambda a_n)$$

求和

公式

$$\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6\\ \sum_{k=1}^nk^3=\left [ \frac{n(n+1)}{2}\right ]^2$$

裂项

$$\frac1{n^2}>\frac1{n(n+1)}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$$ $$\frac{1}{\sqrt {n + 1} + \sqrt n } = \sqrt {n + 1} - \sqrt n$$

错位相减

$$a_n=a_1+(n-1)d\quad\quad b_n=b_1q^{n-1}$$ $$\begin{cases}T_{n}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}+\cdots+a_{n-1} b_{n-1}+a_{n} b_{n}\\ q T_{n}=a_{1} b_{2}+a_{2} b_{3}+a_{3} b_{4}+\cdots+a_{n-1} b_{n}+q a_{n} b_{n}\end{cases}$$ $$\begin{aligned} T_{n}-q T_{n} &=a_{1} b_{1}+d\left(b_{2}+b_{2}+\cdots+b_{n}\right)-q a_{n} b_{n} \\ &=a_{1} b_{1}+d\left(\frac{b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}-b_{1}\right)-q a_{n} b_{n} \\ &=a_{1} b_{1}+d\left(S_{n}-b_{1}\right)-q a_{n} b_{n} \\ &=\left(a_{1}-d\right) b_{1}+d S_{n}-q a_{n} b_{n} \end{aligned}$$ $$T_{n}=\frac{\left(a_{1}-d\right) b_{1}+d S_{n}-q a_{n} b_{n}}{1-q}$$

组合数学

排列

$$A^m_n=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)=\frac{m!}{(n-m)!}\\ C_n^m=\frac{A^m_n}{m!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)}{m(m-1)(m-2)\cdots3\times2\times1}\\ A^m_{n+1}=A^m_n+mA_n^{m-1},A^m_n=(n-m+1)A^{m-1}_n, A^m_n=\frac{n}{n-m}A^m_{n-1}\\$$

组合

$$C_n^m=C_n^{n-m}\\ C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}\\ \sum_{i=0}^nC_n^i=2^n\\\text{Vandermonde} 恒等式\\ C^k_{m+n}=\sum_{i=0}^kC_m^iC_n^{k-i} \\C_{2n}^n=\sum_{i=0}^k(C_n^i)^2\\ H_n^m=C_{m+n-1}^m=\sum_{i=1}^mC_{m-1}^{m-i}C_n^i\\(x+y)^n=\sum_{i=0}^nC_n^ix^{n-i}y^{i}\\ (1+x)^n=\sum_{i=0}^nC_n^ix^{i}\\D_{n}=n !\left(\frac{1}{2 !}+\ldots+(-1)^{n} \frac{1}{n !}\right)$$

赋值法

$$(ax^p+bx^q)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n=f(x)$$ $$\sum_{i=0}^na_i=f(1)\\ a_0=f(0)$$

多项式定理

$$C_{n}^{n_{1}} C_{n-n_{1}}^{n_{2}} \ldots C_{n-n_{1}-\ldots-n_{k-1}}^{n_{k}}=\frac{n !}{n_{1} ! n_{2} ! \ldots n_{k} !}$$ $$\left(x_{1}+\ldots+x_{k}\right)^{n}=\sum_{n_{1}+\ldots+n_{k}=n}\left(\begin{array}{ccc} & n & \\ n_{1} & \ldots & n_{k} \end{array}\right) x_{1}^{n_{1}} x_{2}^{n_{2}} \ldots x_{k}^{n_{k}}$$

n次方差

$$x^{n}-1=(x-1)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1\right)$$ $$\begin{aligned} a^{n}-b^{n} &=b^{n}\left(\left(\frac{a}{b}\right)^{n}-1\right) \\ &=b^{n}\left(\frac{a}{b}-1\right)\left(\left(\frac{a}{b}\right)^{n-1}+\left(\frac{a}{b}\right)^{n-2}+\cdots+\frac{a}{b}+1\right) \\ &=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2} b+\cdots+a b^{n-2}+b^{n-1}\right) \end{aligned}$$

立体几何

斜二测画法

$y$轴顺时针旋转$45^{\circ} $，已知图形中平行于$x$轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于$y$轴的线段长度变成原来的一半

$$i=\left[ {\begin{array}{*{20}c}1\\0\end{array} } \right] \rightarrow\left[ {\begin{array}{*{20}c}1\\0\end{array} } \right]$$ $$j=\left[ {\begin{array}{*{20}c}0\\1\end{array} } \right]\rightarrow\left[ {\begin{array}{*{20}c}\frac{\sqrt{2} }{4} \\\frac{\sqrt{2} }{4}\end{array} } \right]$$

斜二测画法的变换矩阵

$$\left[ {\begin{array}{*{20}c}x'\\y'\end{array} } \right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}1&\frac{\sqrt{2} }{4}\\0&\frac{\sqrt{2} }{4}\end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}x\\y\end{array} } \right]$$

变换前后的面积比

$$\frac{S'}{S}=\left|{\begin{array}{*{20}c}1&\frac{\sqrt{2} }{4}\\0&\frac{\sqrt{2} }{4}\end{array} }\right|=\frac{\sqrt{2} }{4}$$

三维空间内的

$$\left[ {\begin{array}{*{20}c}x'\\y'\\z'\end{array} } \right]=\left[ \begin{array}{*{20}c} { 1 } & { \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}x\\y\\z\end{array} } \right]$$

特殊法求解

$$\text{ 该变换写为}\begin{cases} { x ^ { \prime } = a _ { 1 } x + b _ { 1 } y + c _ { 1 } z } \\ { y ^ { \prime } = a _ { 2 } x + b _ { 2 } y + c _ { 2 } z } \end{cases}$$ $$\text{带入可得}\begin{cases} { x ^ { \prime } = x + \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } y } \\ { y ^ { \prime } = z + \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } y } \end{cases}$$

公理与定理

公理一

$$A\in l,B\in l, C\notin l \Rightarrow \exists \alpha \quad s.t.\quad A,B,C\in\alpha$$

公理二

$$A,B\in\alpha,A,B\in l \Rightarrow l\subset\alpha$$

公理三

$$P\in\alpha,P\in\beta \Rightarrow \alpha \cap\beta=l\quad and\quad P\in l$$ $$A\in l,B\in l, C\notin l \Rightarrow \exists \alpha \quad s.t.\quad A,B,C\in\alpha\\ A,B\in\alpha,A,B\in l \Rightarrow l\subset\alpha\\ P\in\alpha,P\in\beta \Rightarrow \alpha \cap\beta=l\quad \text{and}\quad P\in l\\\begin{cases}{a\nsubseteqq \beta},a\parallel b,b\subset\beta\Rightarrow a\parallel \beta\\a\parallel \beta,a\subset \alpha ,\alpha \cap\beta=l\Rightarrow a\parallel l\end{cases}$$

平行

$$\begin{cases}{a\nsubseteqq \beta},a\parallel b,b\subset\beta\Rightarrow a\parallel \beta\\a\parallel \beta,a\subset \alpha ,\alpha \cap\beta=l\Rightarrow a\parallel l\end{cases}$$ $$\begin{cases}a\parallel \alpha,b\parallel \alpha,{a\cap b=P},a,b\subset\beta\Rightarrow\alpha\parallel \beta\\ \alpha\parallel \beta,\gamma\cap\alpha=a,\gamma\cap\beta=b\Rightarrow a\parallel b \end{cases}$$

垂直

$$\begin{cases}l\perp m,l\perp n\;,{m\cap m=P},m,n\subset\beta\Rightarrow l\perp \beta\\ a\perp\beta,b\perp\beta\Rightarrow a\parallel b \end{cases}$$ $$\begin{cases}l\perp \beta,l\subset \alpha \Rightarrow \alpha\perp \beta\\ \alpha\perp\beta,a\subset\beta,\alpha \cap\beta=l,a\perp l\Rightarrow a\perp \alpha \end{cases}$$ $$\begin{cases}a\parallel \alpha,b\parallel \alpha,{a\cap b=P},a,b\subset\beta\Rightarrow\alpha\parallel \beta\\ \alpha\parallel \beta,\gamma\cap\alpha=a,\gamma\cap\beta=b\Rightarrow a\parallel b \end{cases}\\ \begin{cases}l\perp m,l\perp n\;,{m\cap m=P},m,n\subset\beta\Rightarrow l\perp \beta\\ a\perp\beta,b\perp\beta\Rightarrow a\parallel b \end{cases}\\ \begin{cases}l\perp \beta,l\subset \alpha \Rightarrow \alpha\perp \beta\\ \alpha\perp\beta,a\subset\beta,\alpha \cap\beta=l,a\perp l\Rightarrow a\perp \alpha \end{cases}$$

面积体积公式

$$圆锥\begin{cases} S_{侧}=\pi rl \\S_{底}=\pi r^2\\V=\frac13Sh\end{cases}$$ $$台\begin{cases} S_{侧}=\pi (r+r' )l \\V=\frac13(S+\sqrt {SS'}+{S'})h\end{cases}$$ $$正四面体\begin{cases} h=\frac{\sqrt 6}{3}a \\ r_{外}=\frac{\sqrt 6}{4}a \\r_{内}=\frac{\sqrt 6}{12}a\end{cases}$$ $$球\begin{cases} S=4\pi R^2 \\V=\frac43\pi R^3\end{cases}$$

空间向量

线线角

$\vec{a},\vec{b}$分别为直线$m,n$的方向向量

$$\theta=\begin{cases}\arccos|\frac{|\vec{a}\cdot\vec{b} | }{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}|,<\vec{a},\vec{b}>\in[0,\frac\pi2]\\ \pi-\arccos|\frac{|\vec{a}\cdot\vec{b} | }{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}|,<\vec{a},\vec{b}>\in(\frac{\pi}{2},\pi ] \end{cases}$$ $$\cos\theta=\left |\frac{|\vec{a}\cdot\vec{\rm{n} }| }{|\vec{a}|\cdot|\vec{\rm{n} }|}\right |$$

线面角

$$\sin\theta=\cos<\vec{a},\vec{\rm{n} }>=\frac{|\vec{a}\cdot\vec{\rm{n} }| }{|\vec{a}|\cdot|\vec{\rm{n} }|}$$

面面角

$$\begin{cases}\vec{\rm{n} }\cdot\vec{a}=0 \\\vec{\rm{n} }\cdot\vec{b}=0\end{cases}$$ $$\cos\theta=\left|\frac{\vec{\rm{n_1} }\cdot\vec{\rm{n_2} } }{|\vec{\rm{n_1} }|\cdot|\vec{\rm{n_2} }|}\right |=\left|\frac{x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2} }{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2} } \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2} } }\right |$$

二面角

同进同出

$$\cos\theta=-\frac{\vec{\rm{n_1} }\cdot\vec{\rm{n_2} } }{|\vec{\rm{n_1} }|\cdot|\vec{\rm{n_2} }|}=-\frac{x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2} }{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2} } \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2} } }$$

一进一出

$$\cos\theta=\frac{\vec{\rm{n_1} }\cdot\vec{\rm{n_2} } }{|\vec{\rm{n_1} }|\cdot|\vec{\rm{n_2} }|}=\frac{x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2} }{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2} } \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2} } }\\\vec{a} \times \vec{b}=\left(y_{1} z_{2}-z_{1} y_{2}, z_{1} x_{2}-x_{1} z_{2}, x_{1} y_{2}-y_{1} x_{2}\right)\\ d=|AA'|=\sqrt{\left |\vec{PA}\right |^2-\left |\frac{\vec{PA}\cdot\vec{s} }{|\vec{s}|}\right |}=\left |\vec{PA}\cdot \vec{n_0}\right |$$

距离

$$\begin{array}{l}d=|AA'|&=\sqrt{\left |\vec{PA}\right |^2-\left |\frac{\vec{PA}\cdot\vec{s} }{|\vec{s}|}\right |}\\&=\sqrt{\left |\vec{PA}\right |^2-\left |{\vec{PA}\cdot\vec{s_0} }\right |} \\&=\left |\vec{PA}\cdot \vec{n_0}\right |\end{array}$$

叉积

$$\vec{a} \times \vec{b}=\left(y_{1} z_{2}-z_{1} y_{2}, z_{1} x_{2}-x_{1} z_{2}, x_{1} y_{2}-y_{1} x_{2}\right)$$