回归模型

输入向量

$$X=\begin{pmatrix}X_1\\X_2\\X_3\end{pmatrix}\\$$

模型

$$Y=f(X)+\epsilon$$

其中$\epsilon$为误差，不可避免

回归函数(regression function)为理想目标

$$f(x)=E(Y|X=x)$$

$X$表示抽象特征$x$为具体值

需要准确根据所有数据选取模型的复杂度

线性模型

$$\hat { y } = \hat { \beta_1 } x + \hat { \beta_0}$$

几乎不可能正确，但很可能是最佳的一部分

$$\\ \frac{\partial y}{\partial \beta_1}=\frac{\partial y}{\partial \beta_0}=0\\ \hat { \beta_1 } = \frac { \sum\limits _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } y _ { i } - n \overline { x } \overline { y } } { \sum \limits_ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { 2 } - n \overline { x } ^ { 2 } } , \hat { \beta_0 } = \overline { y } - \hat { b } \overline { x }$$

相关系数为

$$r = \frac { \sum \limits_ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } y _ { i } - n \overline { x } \overline { y } } { \sqrt { ( \sum \limits_ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { 2 } - n \overline { x } ^ { 2 } ) ( \sum \limits_ { i = 1 } ^ { n } y _ { i } ^ { 2 } - n \overline { y } ^ { 2 } ) } }$$

计算标准差的平方(方差)为

$$S_{xx}=\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2\\ S_{yy}=\sum_{i=1}^n(y_i-\overline{y})^2\\ S_{xy}=\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})$$

标准差为

$$\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\hat{x}_{j}\right)^{2}}$$

其中$\sigma^2=\text{Var}(\epsilon)$

因为$x_i$为人为给定量，$y_i$为测量值，存在误差

若样本无穷大，有总体回归线

$$Y=\beta_0+\beta_1X+\epsilon$$

由方差的性质得到

$$\text{Var}(\epsilon)=\text{Var}[Y]$$

SE(Standard Error)为标准误差

1、均方差就是标准差，标准差就是均方差

2、方差 是各数据偏离平均值 差值的平方和 的平均数

3、均方误差（MSE）是各数据偏离真实值 差值的平方和 的平均数

4、方差是平均值，均方误差是真实值

RSE：Residual Standard Error

$$\mathrm{RSE}=\sqrt{\frac{1}{n-2} \operatorname{RSS}}=\sqrt{\frac{1}{n-2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{y}_{j}\right)^{2}}$$

RSS：Residual Sum of Squares

由误差导致的真实值和估计值之间的偏差平方和

置信区间

Confidence Intervals

有$95\%$的概率使得最佳值在区间内(根据数据的不同)

$$[\hat{\beta_1}-2\text{SE}(\hat{\beta_1}),\hat{\beta_1}+2\text{SE}(\hat{\beta_1})]$$

多元

$$f_L(X)=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2\dots\\ Y=X\beta+\epsilon$$

若一个量变化，其余量固定不变，不相关(常常不符合事实)

但有一些很有用，能够看出某个量的影响

$$\text{minimize}\{\ell(\beta)= (Y-X\beta)^2\}\\ \frac{\partial l}{\partial \beta}=0,\ell(\beta)=(Y-X\beta)^T(Y-X\beta)$$

展开后求导可得

$$\beta=(X^TX)^{-1}X^TY$$

其中$X$代表$n$个样本

$$X=\begin{bmatrix}1&X_{11}&\cdots&X_{1(m-1)}&X_{1m}\\ 1&X_{21}&\cdots&X_{2(m-1)}&X_{2m}\\ 1&X_{31}&\cdots&X_{3(m-1)}&X_{3m}\\ \vdots& \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 1&X_{n1}&\cdots&X_{n(m-1)}&X_{nm}\\ \end{bmatrix}$$

对于

$$y=2x_1-3.4x_2+4.2\\ \beta=\begin{bmatrix}\beta_0\\\beta_1\\\beta_2\\ \end{bmatrix}$$

相关

若两个量相关则

$$\beta_1\ne0$$ $$\beta_1=0\Rightarrow Y=\beta_0+\epsilon$$

对于多元模型，可以引入乘积项

$$y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3X_1X_2+\epsilon$$

优化

最小化方差

$$\text{minimize}\{E[(Y-\hat{f}(x))^2|X=x]\}$$

$\hat{f}(x)$为所估计的函数

$$E[(Y-\hat{f}(x))^2|X=x]=[f(x)-\hat{f}(x)]^2+\text{Var}(\epsilon)$$

但每个值不一定都有

$$\rm good /over/under\;fitting$$

取测试数据集计算准确度，评估模型好坏

可以引入非线性项来改进模型

$$Y=\beta_0+\beta_1X+\beta_2X^2+\epsilon$$

分类模型

$$\hat{f}(x)=\text{Ave}(Y|X\in \mathcal{N}(x))$$

考察$x$的邻域$\mathcal{N}(x)$，如扩展到$10\%$的数据

但对高维数据范围太大失去了局部信息，效果不好

分类器$C(X)$，考虑条件概率

$$p_k(x)=\text{Pr}(Y=k|X=x),k=1,2,\dots ,k$$

分类结果为

$$Y=j \;\text{if}\;p_j(x)=\max\{p_k(x) \}$$

用正确率来衡量结果

可使用$\rm Nearest-neighbor$，如找十个看哪种最多

Logistic

逻辑斯谛回归

$$p(X)=\text{Pr}\{Y=1|X\}\\ p(X)=\frac{e^{\beta_0+\beta_1X}}{1+e^{\beta_0+\beta_1X}}\\ \text{Pr}\{Y=0|X\}=\frac{1}{1+e^{\beta_0+\beta_1X}}\\ \ln \left(\frac{p(X)}{1-p(X)}\right)=\beta_{0}+\beta_{1} X\\$$

这是一种广义线性模型，利用最大似然函数估计误差

$$\ell\left(\beta_{0}, \beta\right)=\prod_{i: y_{i}=1} p\left(x_{i}\right) \prod_{i: y_{i}=0}\left(1-p\left(x_{i}\right)\right)$$

随机抽小球，取得一个样本

我们认为概率最大的情况就是这个结果，从而

$$\text{maximize}\{\ell\left(\beta_{0}, \beta\right)\}$$

概念

微分方程是一种方程，它涉及对一个函数的变化率的描述。它通常表示为一个包含未知函数及其一阶或多阶导数的方程，例如：

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + y = x$$

其最高阶导数的阶数为微分方程的阶数

其通解含有和阶数数目相同的相互独立的常数

通解

对于特定类型的微分方程，可以找到一个通用的解决方案

例如，对于常见的一阶线性微分方程，通解可以表示为：

$$y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$$

其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数，$r_1$和$r_2$是方程的特征根。通过对方程进行求解，可以确定 $r_1$ 和 $r_2$ 的值

特解

微分方程需要满足特定的初值条件$\text{IVP(Initial Value Problem)}$

利用这些条件可以方便求出常数的值

可分离变量

这类方程的一般形式为：

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = f(x)g(y)\Rightarrow\\ f(x)\text{d}x=h(y)\text{d}y$$

其中 $f(x)$ 和 $g(y)$ 是两个函数。可以看出，在这类方程中，变量 $x$ 和 $y$ 可以分开，因此称为可分离变量的微分方程。

对两端积分，并带入初值条件便可以求解

对于其他方程，利用换元的方式可以化成这种类型

一般的

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f\left(\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}\right)$$

若

$$\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}$$

化为

$$f\left(\frac{ax+by+c}{\lambda(ax+by)+c_1}\right)$$

作换元

$$u=ax+by$$

一阶线性

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} +P(x)y=Q(x)$$

若$Q(x)\equiv 0$则为齐次，容易得到

$$y=C\cdot \exp \left( -\int P(x)\text{d}x \right)$$

将$C$换为$u(x)$(常数变易法)，容易得到

$$u(x)=\int Q(x)\exp\left( \int P(x)\text{d}x \right)\text{d}x +C$$

从而通解为

$$y=e^{-\int P(x)\text{d}x}\left(\int Q(x)e^{ \int P(x)\text{d}x} \text{d}x +C\right)$$

也可以同时乘上积分因子

$$\text{integrating factor} = e^{ \int P(x)\text{d}x}$$

齐次方程

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} =\varphi(\frac y x)$$

我们可以作变量代换

$$u=\frac yx$$

从而化为一般微分方程

对于

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}(\frac{a}{a_1}\ne\frac{b}{b_1})$$

用平移的方式可以化为齐次型

$$\begin{cases}x=X+h\\y=Y+k\end{cases}$$

伯努利方程

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} +P(x)y=Q(x)y^\alpha\\ y^{-\alpha}\frac{\text{d}y}{\text{d}x} +P(x)y^{1-\alpha}=Q(x)$$

从而令$u=y^{1-\alpha}$化为一阶线性求解

可降阶的二阶

y’’=f(x)

只需不断积分即可，注意任意常数

上述解法可以推广到

$$y^{(n)}=f(x)$$

y’’=f(x,y’)

使用换元法将$y’$设为$p$，利用

$$y''=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(y')=\frac{\text{d}p}{\text{d}x}$$

化为一阶线性微分方程，求出后再进行积分即可

y’’=f(y,y’)

同样使用换元法将$y’$设为$p$，利用

$$y''=\frac{\text{d}p}{\text{d}x}=\frac{\text{d}p}{\text{d}y}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}$$

化为

$$p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}=f(p,y)$$

二阶线性微分方程

$$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} +P(x)\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + Q(x)y = f(x)$$

$f(x)$为$0$则为齐次方程

$$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$$

为方程的通解($y_1,y_2$线性无关)

线性相关

$$k_{1} y_{1}(x)+k_{2} y_{2}(x)+\cdots+k_{n} y_{n}(x) \equiv 0$$

其中$k_i$不全为$0$，则在区间上线性相关

两个非零函数

$$y_1:y_2=C(\ne0)$$

常数变易

$$y=C u(x) \to y=v(x)u(x)$$

齐次

$$y''+py'+qy=0$$

$\Delta>0$

$$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$$

$\Delta=0,r=-\frac p2$

$$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$$

$\Delta<0,r=a\pm b\mathbf i $

$$y=e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\sin bx)$$

非齐次

$$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^*(x)$$

$y^*(x)$为非齐次的特解

形式1

$$y''+py'+qy=f(x)\\ f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$$

• $\lambda$为不为特征方程的根

  特解为

  $$Q_m(x)e^{\lambda x}$$

• $\lambda$为为特征方程的单根

  $$xQ_m(x)e^{\lambda x}$$

• $\lambda$为为特征方程的重根

  $$x^2Q_m(x)e^{\lambda x}$$

形式2

$$y''+py'+qy=f(x)\\ f(x)=[P_l(x)\cos\omega x+P_n(x)\cos\omega x]e^{\lambda x}$$

特解为

$$y^*=x^ke^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos\omega x+R_m^{(2)}(x)\cos\omega x]\\ m=\max\{l,n\}$$

其中$k$按照$x=\lambda +\text{i}\omega$是否为特征方程的根等取$0,1$

解的叠加

右端的函数可以拆分后分别求特解再叠加

欧拉方程

$$x^3y'''+3x^2y''-2xy'+2y=0$$

令$x=e^t$

$$D=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\\ x^ny^{(n)}=D(D-1)\cdots(D-n+1)y$$

其中$D^n$称为$n$阶微分算子

概念

系统

热力学系统由大量微观粒子组成的系统，与系统发生相互作用的外部环境称为外界

• 孤立系统：与外界没有物质和能量的交换
• 封闭系统：没有物质的交换，只有能量交换
• 开放系统：同时有物质和能量的交换

状态参量

分为宏观量和微观量

每个分子所具有的$v,m_p$为微观量

气体的宏观状态如$V,p$为宏观量

其中又分为广延量和强度量，如热量是广延量，温度是强度量

重要单位

$$1 \rm L=10^{-3}m^3\\ 1atm=1.013\times10^5Pa=760mmHg$$

热平衡

两者之间没有热量的交换，冷热程度不发生改变

平衡态

在经过足够长的时间后系统的状态参量不随时间改变，则称该系统达到了平衡态

弛豫时间

从初始状态到达到平衡态所需要的时间

若弛豫时间很短则可近似看作平衡态

准静态过程

过程足够缓慢以至于每一个中间态都可以看作平衡态

温标

温度的数值表示法

摄氏温标，用$t$表示，单位为$^\circ \text{C}$

热力学温标，用$T$表示，开尔文温标，单位为$\text{K}$

$$T/\text{K}=273.15+t/^\circ\text{C}$$

热力学定律

第零定律

若两个系统分别与第三个系统处于热平衡，则这两个系统必然也处于热平衡

第一定律

只要初末两个状态为平衡态

$$E=f(T) \\\Delta E= \Delta U=W+Q$$

实际上对系统做功和传递热量是等效的，焦耳实验测出了热功当量

我们需要注意做功和传热是过程量和具体过程有关

内能的变化量是状态量只和始末状态有关（处于平衡态）

$$J=\frac{2mgh}Q=4.18\text{J}\cdot\text{cal}^{-1}$$

对于微小过程(准静态)，有

$$\text{d}E=\text{d}W+\text{d}Q\\ \Delta E=-\int_{V_1}^{V_2}{p\text{d}V}+\int_{T_1}^{T_2}\frac mMC_m\text{d}T$$

闭口系统

上面的功定义为气体对外做的膨胀功$W$，则

$$Q=W+\Delta U\\ \delta Q=\delta U+\delta W$$

用比表示也即

$$q=\Delta u+w\\ \delta q=\delta u+\delta w$$

上面的式子适用于一切过程，不受过程性质和工质性质限制

对于可逆过程，上面有

$$q=\Delta u +\int_1^2p\text dv\\ \delta q=\delta u +p\delta v$$

开口系统

对于稳定流动，维持需要流动功和推动功

$$\delta W_f=pA\text d x=p\text d V=pv\text d m\\ w_f=pv$$

流动功不是工质本身的能量

所以对于开口系统，定义焓

$$\Delta H =\Delta U +p\Delta V$$

和工质通过机轴对外输出的功$W_s$，和流速$c_f$，根据能量守恒

$$Q=\Delta H+\frac12m\Delta c_f^2+mg\Delta z+W_s$$

单位工质

$$q=\Delta h+\frac12m\Delta c_f^2+g\Delta z+ w_s$$

技术功（工程上可以直接利用的功）

$$w_t=\frac12m\Delta c_f^2+g\Delta z+ w_s$$

再进行变形，定义膨胀功$w$

$$w_t=w-(p_2v_2-p_1v_1)$$

技术功等于膨胀功减去净流动功

对于可逆过程，可以把技术功表示为

$$w_t=-\int_1^2v\text dp$$

为与$p$轴围成的面积

理想气体

热容

可以看出热容的定义为

$$C=\frac{\delta Q}{\delta t}$$

上面换成比热得到比热容

$$c=\frac{\delta q}{\delta t}$$

其中$C_m=cM$为摩尔热容，对于特殊过程，引入自由度

• $i=3$单原子分子
• $i=5$双原子分子
• $i=6$多原子分子

从而有定压热容和定容热容

$$V=\text{const}:\\ C_{V,m}=\frac i2R \\ p=\text{const}:\\ C_{p,m}=\left(\frac i2+1\right)R$$

从而有迈耶公式

$$C_{V,m}+R=C_{p,m}$$

$R$在数值上等于一摩尔理想气体等压过程升高$1\text{K}$对外做的功（克服外力膨胀）

定义比热容比

$$\gamma=c_p/c_v>1$$

带入上面的关系得到

$$c_p=\frac\gamma{\gamma-1}R_g\\c_v=\frac1{\gamma-1}R_g$$

从定容推出的内能表达式适用于所有过程

$$E=\frac mMC_{V,m}T=\frac mM\frac i2RT$$

物态方程

$$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$$

标准状态

$$p_0=1 \text{atm},T_0=273.15\text{K},V_m=22.4\text{L/mol}$$ $$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac mM \frac{p_0V_m}{T_0}=R\frac mM$$ $$pV=\frac mM RT$$

这就是理想气体状态方程，$R=8.31$为摩尔气体常量

对方程进行变化，令

$$\frac{R}{M}=R_g$$

则得到了气体常数（只和气体种类有关，和状态无关）

再用比体积（单位质量）替代体积，得到

$$pv=R_gT$$

称为理想气体状态方程式（克拉贝龙方程式）

$$p=\frac NV\frac R{N_A}T=nkT$$

其中$k=R/N_A$称为玻尔兹曼常量，此式多用于计算分子数密度

带入标况可得

$$n=2.69\times{10}^{25}\rm m^{-3}$$

这个量被称为洛施密特常量

热力学过程

等体过程

$$Q_V=\Delta E=\frac mM\frac i2R\Delta T$$

等压过程

$$\Delta E=p(V_1-V_2)+\frac mM\left(\frac i2+1\right)R\Delta T$$

等温过程

$$p_1V_1=p_2V_2\\ W=\frac mMRT\ln\frac{V_1}{V_2}=\frac mMRT\ln\frac{p_2}{p_1}=Q_T$$

其中摩尔定温热容

$$C_{T,m}=\frac Mm\left(\frac{\text{d}Q}{\text{d}T}\right)_T\to\infty$$

绝热过程

$$\Delta E=W,\text{d}E=\frac mMC_V\text{d}T\\ \text{d}W=-p\text{d}V$$

引入绝热指数(摩尔热容比)

$$\gamma=\frac{C_{p,m}}{C_{V,m}}=\frac{i+2}i$$

得到绝热方程

$$pV^{\gamma}=C_1\\ TV^{\gamma-1}=C_2\\ \frac{T^{\gamma}}{p^{\gamma-1}}=C_3$$ $$W=\frac1{\gamma-1}(p_2V_2-p_1V_1)=C_V(T_2-T_1)$$

在交点处，绝热过程的线更加陡

多方过程

$$pV^n=C$$

做功把绝热过程中的$\gamma\to n$即可，注意

$$C_{n,m}=C_{V,m}+\frac R{1-n}$$

循环过程

某个状态出发经过一系列过程又回到初始状态的过程

顺时针为正，逆时针为负

正循环$W’>0$，逆循环相反

热机

吸热为$Q_1$，放热为$Q_2$

$$\eta=\frac{W}{Q_1}=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=1-\frac{Q_2}{Q_1}$$

制冷机

$$e=\frac{Q_2}{W}=\frac{Q_2}{Q_1'-Q_2}$$

卡诺循环

$$\eta=\frac{T_{1}-T_{2}}{T_{1}}=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}$$ $$\varepsilon=\frac{Q_{2}}{W}=\frac{Q_{2}}{Q_{1}-Q_{2}}=\frac{T_{2}}{T_{1}-T_{2}}$$

气体动理论

分子与分子之间存在着一定的间距

分子之间存在着相互作用力，注意$r_0$

分子在不断的做无谓的运动，布朗运动

利用统计学方法来研究气体

分布

速率分布函数

$$f(v)=\lim_{\Delta v\to0}\frac{\Delta N}{N \Delta v}\\ \int_0^{+\infty}f(v)\text{d}v=1$$

只有积分是具有实际意义的，单个值不具有任何意义

平均速率

$$\overline{v}=\frac{\int v\text{d}N}{N}=\int vf(v)\text{d}v\\=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}=1.6\sqrt{\frac{RT}{ M}}$$

方均根速率

$$\overline{v^2}=\frac{\int v^2\text{d}N}{N}=\int v^2f(v)\text{d}\\\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3RT}{ M}}=1.73\sqrt{\frac{RT}{ M}}$$

最概然速率

$$v_p=\sqrt{\frac{2RT}{ M}}=1.41\sqrt{\frac{RT}{ M}}$$

气体压强

$$p=\frac23n\overline\varepsilon_k \\ \overline\varepsilon_k=\frac12m_0\overline{v^2}=\frac32kT\\ \Rightarrow p=nkT$$

简谐振动

弹簧振子

对于一个从平衡位置出发的物体，若其受力直接正比于其偏离平衡位置的位移，即满足如下方程

$$\boldsymbol{F}=-k\boldsymbol{x}\\ \frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}=-\frac km x=-\omega_0^2x$$

则该微分方程的解为

$$x=A\cos(\omega_0t+\varphi)\\ v=-A\omega_0\sin(\omega_0t+\varphi)\\ a=-A\omega_0^2\cos(\omega_0t+\varphi)=-\omega_0^2x$$

其中$\omega_0$为该简谐振动的角频率

由机械能守恒两边对时间求导同样可以得到结果

单摆

在角度较小时，由小角度近似$\sin \theta\approx\theta$

$$\frac{\text{d}^2\theta}{\text{d}t^2}=-\frac{g}{L}\theta$$

由于$\theta\approx 0$

$$\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}=-\frac gL x$$

结果为

$$\theta =\theta_0\cos(\omega_0t+\varphi)\\ \omega_0=\sqrt{\frac gL}\\ T_0=2\pi\sqrt{\frac Lg}$$

重要物理量

$$A=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega_0}\right)^2}\\ \varphi=\arctan\left(-\frac{v_0}{\omega_0x_0}\right)$$

利用选择矢量法可以方便地求出各物理量

能量

$$E_p=\frac12kx^2\\ E=E_p+E_k=\frac12kA^2\\ \overline{E_k}=\overline{E_p}=\frac14kA^2$$

振动的合成

同频率

对于两个同频率的简谐振动，运动具有相对静止性

$$\Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1$$

若$\Delta\varphi=2k\pi$则为同相，振动加强，振幅最大

$$A=A_1+A_2$$

$\Delta\varphi=(2k+1)\pi$则振动削弱，合振幅最小

$$A=|A_1-A_2|$$

一般的

$$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\Delta\varphi}\\ \tan\varphi=\frac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2}$$

不同频率

若频率相差不大，则振幅会出现时大时小的现象，称为拍

若两次重合则为合拍

$$T=\frac{2\pi}{\omega_{\text{raletive}}}=\frac{2\pi}{\omega_2-\omega_1}\\ \nu=\frac1T=\nu_2-\nu_1$$

其中$\nu$称为拍频

相互垂直的简谐振动

振动$1$与$x$轴上，振动$2$于$y$轴上

若$\varphi_2-\varphi_1=2k\pi$

则$y=\frac{A_2}{A_1}x$为线振动

若$\varphi_2-\varphi_1=(2k+1)\pi$

则$y=-\frac{A_2}{A_1}x$为线振动

若$\varphi_2-\varphi_1=\pm\frac\pi2$

$$\frac{x^2}{A_1^2}+\frac{x^2}{A_1^2}=1$$

振动的分解

利用傅里叶变换可将一个角频率为$\omega$的振动分解为

$$f(t)=A_0+\sum_{n=1}^\infty{A_n\cos(n\omega t+\varphi_n)}$$

$\omega$称为基频，$n\omega$称为$n$次谐频

阻尼振动

$$m\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}=-kx-\gamma\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$$

令$\omega_0^2=\frac km,2\beta=\frac\gamma m$

$$\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+2\beta\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\omega_0^2x=0$$

则为阻尼振动

小阻尼

$$x=A_0e^{-\beta t}\cos(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\varphi_0)$$

阻尼振动的周期比固有周期要长

大阻尼

$$\beta>\omega_0$$

不能完成一个周期运动，将缓慢移到平衡位置

临界阻尼

物体从运动到静止在平衡位置所需时间最短

受迫振动

$$F=F_0\cos\omega t$$

小阻尼下受迫振动为阻尼振动和简谐振动的叠加

稳定后振动的表达式为

$$x=A\cos(\omega t+\varphi)$$

角频率和驱动力频率相等

共振

当驱动力频率为共振频率时，受迫振动的振幅达到峰值

$$\omega_r=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}\\ A_r=\frac{f_0}{2\beta\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}}$$

若阻尼很小，则振幅趋于无穷大

当$\omega=\omega_0$时，速度振幅达到最大，称为速度共振

机械波

自然界存在两种波

机械波只有在弹性介质中才能传播，如声波，水波

电磁波可在真空中传播

产生波一要有波源，二要有弹性介质

分类

横波振动方向和波传播方向垂直

纵波振动方向和波传播方向平行

波速时振动在介质中的传播速度

$$u=\frac{\lambda}T$$

平面简谐波

$$\begin{aligned}y(x,t)&=A\cos\left[\omega\left(t-\frac x u\right)+\varphi_0\right]\\ &=A\cos\left(\omega t-\frac{2\pi x }\lambda +\varphi_0\right)\\ &=A\cos\left[2\pi\left(\frac tT-\frac x u\right)+\varphi_0\right]\\ \end{aligned}$$

$\Delta t$时间内，整个波向传播方向移动了$u\Delta t$的距离

这种在空间内行进的波称为行波

若不在原点，将$x$换为$x-x_0$

若沿反方向则对称，$x$换为$-x$

波的能量

$$\text{d}E_k=\text{d}E_p=\frac12\rho A^2\omega^2\sin^2\omega\left(t-\frac x u\right)\text{d}V\\ \text{d}E=\rho A^2\omega^2\sin^2\omega\left(t-\frac x u\right)\text{d}V$$

波的传播过程中，动能和势能变化完全同步

引入能量密度

$$w=\frac{\text{d}E}{\text{d}V}=\rho A^2\omega^2\sin^2\omega\left(t-\frac x u\right)\\ \overline{w}=\frac12\rho A^2\omega^2\propto A^2$$

平均能流为单位时间内垂直通过某一面积的平均能量

$$\overline{P}=\overline{w}uS=\frac12\rho A^2\omega^2uS$$

单位时间内垂直通过单位面积的平均能量称为流能密度或波的强度

$$I=\frac{\overline{P}}S=\frac12\rho A^2\omega^2u$$

声波

声压

$$p=\rho uv$$

声压和速度成正比，故和时间空间作周期性变化

我们把$Z=\rho u$称为特征阻抗

阻抗大的为波密介质，反之为波疏介质

声强

$$I=\frac{\overline{P}}S=\frac12\rho A^2\omega^2u$$ $$p_{\text{m}}=\rho uv_{\text{m}}=\rho u\omega A\\ I=\frac12\frac{p_\text{m}}{\rho u}$$

对于人耳对声音的主观感受，引入声强级的概念

$$L=\lg \frac I{I_0}$$

其中$I_0$为标准声强，单位为贝尔、

贝尔单位较大，用常用分贝来表示

$$L=10\lg \frac I{I_0}\quad (\text{dB})$$

波的干涉

波有叠加原理，可以单独看每一个波，波之间不会相互影响

但任一质元的振动是叠加之后的结果

对于频率，振动方向相同的两列波，称之为相干波

对于一点$P$距离两个波源的距离分别为$r_1,r_2$

$$y_{1P}=A_1\cos\left(\omega t+\varphi_1-\frac{2\pi r_1}\lambda\right)\\ y_{2P}=A_2\cos\left(\omega t+\varphi_2-\frac{2\pi r_2}\lambda\right)$$

由简谐振动的合成规律知

$$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\left[(\varphi_2-\varphi_1)-\frac{2\pi (r_2-r_1)}\lambda\right]}\\ \tan\varphi=\frac{A_1\sin\left(\varphi_1-\frac{2\pi r_1}\lambda\right)+A_2\sin\left(\varphi_2-\frac{2\pi r_2}\lambda\right)}{A_1\cos\left(\varphi_1-\frac{2\pi r_1}\lambda\right)+A_2\cos\left(\varphi_2-\frac{2\pi r_2}\lambda\right)}$$

又因为$I\propto A^2$

$$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta\varphi$$

相位差

$$\Delta\varphi=(\varphi_2-\varphi_1)-\frac{2\pi (r_2-r_1)}\lambda$$

若

$$\Delta\varphi=2k\pi$$

则称这些点为干涉相长点

$$A_{\text{max}}=A_1+A_2\\ I_{\text{max}}=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}$$

因为干涉相消而引起振幅和强度减小

$$\Delta\varphi=(2k+1)\pi$$

若$\varphi_2=\varphi_1$

则干涉条件可简化为

$$\delta=r_2-r_1=\begin{cases}\pm k\lambda,A_{\text{max}}=A_1+A_2\\ \pm \frac12(2k+1)\lambda,A_{\text{max}}=|A_1-A_2|\end{cases}$$

驻波

两列相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加形成的

$$y_{1}=A\cos\left(\omega t-\frac{2\pi x}\lambda\right)\\ y_{2}=A\cos\left(\omega t+\frac{2\pi x}\lambda\right)$$

由和差化积公式

$$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2$$

有

$$y=y_1+y_2=2A\cos\left(\frac{2\pi x}\lambda\right)\cos\omega t$$

上式被称为驻波方程

特殊位置

$$\left|\cos\frac{2\pi x}\lambda\right|=1\Rightarrow x= k\frac\lambda2$$

振幅最大，称为波腹

$$\left|\cos\frac{2\pi x}\lambda\right|=0\Rightarrow x= (2k+1)\frac\lambda4$$

振幅为$0$，称为波节

惠更斯原理

波面上任意一点都可看作子波的波源

多普勒效应

$$\nu'=\frac{u+v_o}{u-v_s}\nu$$

其中$v_o$为观察者的速度，$v_s$为波源的速度，相向为正

马赫锥

$$\sin\theta=\frac{ut}{v_st}=\frac1{Ma}$$

马赫数即为几倍声速

$$v=\frac{\sqrt 3}2c\\ \Delta t=-\frac{\sqrt 3}3\times10^{-5}\text s$$ $$p_1=\sqrt{2m_eUe}\\ p_2=\frac{\sqrt{2m_eeUc^2+e^2U^2}}c$$ $$E=\frac{\varepsilon _0m_0c^2}{m_0c^2+\varepsilon _0(1-\cos\theta)}$$ $$\overline{E_k}=\frac14kA^2,\overline{E_p}=\frac14kA^2$$ $$a:0,b:\frac{\pi}3,c:\pi\\ d:\frac{2\pi}3,e:-\frac{2\pi}3\\ x=5\cos\left(\frac{\pi}{1.2}t-\frac{\pi}3\right)$$ $$A=\sqrt{\frac8{125}},E_p=0.2\text{J}$$ $$\frac{2\pi}k,I=\frac12\rho A^2 \frac{\omega^3}k$$ $$I=0.09\text{W}\cdot\text{m}^{-2}\\ \overline{w}= 2.647\times10^{-4}\text{J}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-3}$$ $$y=0.1\cos\left[165\pi\left(t-\frac x{330}\right)+\pi\right]\text{m}$$ $$\frac{1.5\times20}{293}+\frac{1\times V}{293}=\frac{7.5\times20}{298}\\ \Rightarrow V=117.483 \text{L}$$ $$W =\frac{C}2(\frac1{V_1^2}-\frac1{V_2^2})\\$$ $$Q_1=n(\frac i2+1)R\Delta T=500\text{J}\\ Q_2=700\text{J}$$ $$W=\frac{3200}{293}\text{KW}=10.92\text{KW}$$ $$1. N\int_{v_0}^{\infty}f(v)\text{d}v\\ 2. \frac{\displaystyle\int_{v_0}^{\infty}vf(v)\text{d}v}{\displaystyle\int_{v_0}^{\infty}f(v)\text{d}v}\\ 3. \int_{v_0}^{\infty}f(v)\text{d}v$$

原函数和不定积分

$$\text{d}F(x)=F'(x)\text{d}x=f(x)\text{d}x$$

原函数

若函数在区间$I$上连续，一定有原函数

显然这只是一个充分条件

反例有$x^2\sin \frac1x$，同时$e^{x^2}$的原函数不为初等函数

$$[F(x)+C]'=f(x)$$

不定积分

带有任意常数项的原函数为不定积分

$$F(x)+\boxed{C}=\int f(x)\text{d}x$$

其中$x$为积分变量，$\displaystyle \int$为积分号，$f(x)$为被积函数

$f(x)\text{d}x$为被积表达式

第一类换元法

$$\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\text{d}x=\int f(\varphi(x))\text{d}\varphi(x)=\left. \int f(u)\text{d}u\right|_{u=\varphi(x)}$$

凑微分法，将表达式中的一个式子换元为$t$

$$\text{d}x=\frac1a\text{d}(ax) \\ x\text{d}x=\frac12\text{d}x^2$$

根式有理函数

用于升高次数

$$R(x,\sqrt[m]{ax+b},\sqrt[n]{ax+b})\rightarrow t=\sqrt[mn]{ax+b}\\ R(x,\sqrt[n]\frac{ax+b}{cx+d})\rightarrow t=\sqrt[n]\frac{ax+b}{cx+d}$$

欧拉代换

$$\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\text dx$$ $$a>0\rightarrow\sqrt{ax^2+bx+c}=t\pm \sqrt{a}x\\ c>0\rightarrow\sqrt{ax^2+bx+c}=xt\pm \sqrt{c}\\ \Delta>0\rightarrow \sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-\alpha)$$

组合积分法

$$分子=A分母+B分母'$$

第二类换元法

$$x=\varphi(t)\\ \int f(x)\text{d}x=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\text{d}x$$

类似于参数方程，用于化简表达式

常用代换

$$\sqrt{a^2-x^2}\rightarrow x=a\sin t\rightarrow a\cos t \\\sqrt{a^2+x^2}\rightarrow x=a\tan t\rightarrow a\sec t\\ \sqrt{x^2-a^2}\rightarrow x=a\sec t\rightarrow a\tan t$$

熟练运用半角公式，倍角公式，积化和差

万能代换

$$t=\tan \frac x2\\ \sin x=\frac{2t}{1+t^2}\\ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ \tan x=\frac{2t}{1-t^2}$$

分部积分法

$$\int uv'\text{d}x=uv-\int vu'\text{d}x\\ \int u\text{d}v=uv-\int v\text{d}u$$

反对幂三指$=u$

表格法

上方为$u$下方为$v$，上方求导下方积分

分部积分的$\displaystyle\int v\text{d}u$部分可保留后续可消去

对于反三角函数或$\ln^2(x)$我们令$\text{d}x=\text{d}v$

积分的递推公式

我们可以通过分部积分来获得递推关系

$$I_n=\int\tan^nx\text{d}x \\ I_{n}=\frac{1}{n-1} \tan ^{n-1}(x)-I_{n-2}$$ $$I_n=\int\cos^nx\text{d}x\\ I_{n}=\frac{n-1}nI_{n-2}$$

有理函数的积分

利用多项式除法，总可以将一个假分式改写成一个多项式和一个真分式之和

对于真分式，讨论分母

如果分母中有因式$(x-a)^k$

$$\frac{A_{1}}{(x-a)^{k}}+\frac{A_{2}}{(x-a)^{k-1}}+\cdots+\frac{A_{k}}{x-a}$$

如果分母中有因式$(x^2+px+q)^k$

$$\frac{M_{1} x+N_{1}}{\left(x^{2}+p x+q\right)^{k}}+\frac{M_{2} x+N_{2}}{\left(x^{2}+p x+q\right)^{k-1}}+\cdots+\frac{M_{k} x+N_{k}}{x^{2}+p x+q}$$

具体计算时使用极限法和特殊值带入法

$$\frac{x^{2}}{(x-1)^{3}(x+1)}=\frac{(1+y)^{2}}{y^{3}(2+y)}=\frac{1+2 y+y^{2}}{y^{3}(2+y)}$$

例

$$\int \frac{x^{5}-7 x^{4}+19 x^{3}-10 x^{2}-19 x+18}{x^{4}-5 x^{3}+9 x^{2}} \text {d}x$$

$$\begin{aligned} \text{LHS}&=\int\left(x-2+\frac{8 x^{2}-19 x+18}{x^{4}-5 x^{3}+9 x^{2}}\right) \text {d}x\\ &=\int\left(x-2-\frac8{x^2}+\frac{21x-54}{x^{4}-5 x^{3}+9 x^{2}}\right) \text {d}x\\ \end{aligned}$$ $$\frac{21x-54}{x^2(x^{2}-5 x+9 )}=\frac Cx +\frac D{x^2}+\frac{Ax+B}{x^{2}-5 x+9 }\\ \begin{aligned} &1.\times x^2,x\to0,D=-6\\ &2.\times x,x\to \infty,A=-C\\ &3.x=1,5C+5D+A+B=-33\\ &4.x=-1,15D-15C+B-A=-75\\ \end{aligned}\\ \Rightarrow\begin{cases} A=1\\ B=1\\C=-1\\D=-6 \end{cases}\\ \begin{aligned} \int\frac{21x-54}{x^{4}-5 x^{3}+9 x^{2}}\text {d}x=\int\left(\frac{x+1}{x^{2}-5 x+9}-\frac 1x -\frac 6{x^2}\right)\text{d}x \end{aligned}\\ \frac{x+1}{x^{2}-5 x+9}=\frac12\left(\frac{2x-5+7}{x^{2}-5 x+9}\right)$$ $$\int\frac{x+1}{x^{2}-5 x+9}\text{d}x=\frac12\left(\int\frac{\text{d}(x^{2}-5 x+9)}{x^{2}-5 x+9}+\int\frac{7\text{d}{\left(x-\frac52\right)}}{\left(x-\frac52\right)^2+\frac{11}4}\right)$$

所以答案为

$$\frac{x^{2}}{2}-2 x-\frac{2}{x}-\ln |x|+\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}-5 x+9\right)+\frac{7}{\sqrt{11}} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-5}{\sqrt{11}}\right)+C$$

解题细节

• 先需要写出微分关系
• 步骤无需太细微，在草稿纸上完成
• 结果一定要用$x$来表示
• 不定积分一定需要加常数$C$

定积分

定义

$$\int_{a}^{b} f(x) \text{d} x=\lim _{\text {mesh } \rightarrow 0} \sum_{j=1}^{n} f\left(\xi_{j}\right)\left(x_{j}-x_{j-1}\right)\\ a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b,\\ \xi_j\in[x_{j-1},x_{j}]$$

特别的，若对于$[0,1]$上的积分，有

$$\int_0^1f(x)\text{d} x=\lim _{n \rightarrow +\infty} \sum_{j=1}^{n} f\left(\frac{j}n\right)\frac1n$$

此公式常用于求极限

定积分的几何意义是图线围成的有向面积$(\text{signed area})$

连续必可积，若有界且只有有限个间断点也可积

性质

$$\int_{b}^{a} f(x) \text{d} x=-\int_{a}^{b} f(x) \text{d}x\\$$

交换上下限，结果相反

$$\int_{a}^{b} f(x) \text{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \text{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \text{d} x$$

定积分的可加性

$$\int_a^af(x)\text{d}x=0$$

一条线的面积为$0$

$$\int_{a}^{b}(\lambda f(x)+\mu g(x)) \text{d} x=\lambda\int_{a}^{b} f(x) \text{d} x+\mu\int_{a}^{b} g(x) \text{d} x$$

定积分的线性性质

$$S=\int_{a}^{b}| f(x)- g(x)| \text{d} x$$

$f(x)$和$g(x)$之间围成的面积

$$f(x)\le g(x)(x\in[a,b])\Rightarrow \int_{b}^{a} f(x) \text{d} x\le\int_{a}^{b} g(x) \text{d}x\\$$

定积分的估值定理

$$m\le f(x)\le M(x\in[a,b])\Rightarrow\\ m(b-a)\le\int_{b}^{a} f(x) \text{d} x\le M(b-a)$$

积分中值定理

$$\exists \xi\in(a,b )\quad \text{s.t.}\quad \int_{b}^{a} f(x) \text{d} x=f(\xi)(b-a)$$

保号性

$$\text{if} \quad f(x)\ge0,\exists\xi\in[a,b],f(\xi)\ne0\\ \Rightarrow\int_{b}^{a} f(x) \text{d} x>0$$

绝对值不等式

$$\left|\int_{b}^{a} f(x) \text{d} x\right|\le\int_{b}^{a} |f(x)| \text{d} x(a<b)$$

第一基本定理

$$f\in C[a,b]\\ F(x)=\int_{x}^{a} f(t) \text{d} t$$

则函数$F(x)$可导且满足

$$F'(x)=f(x)$$

我们称$F(x)$为积分上限函数(原函数中的一个)

第二基本定理

$$\text{Newton-Leibniz formula} \\ \int_a^bf(x)\mathrm dx =\left[F(x)\right]^b_a=F(b)-F(a)$$

这个公式给出了定积分的一般计算方法，具有普遍意义

由此我们知道定积分和不定积分有着密切联系

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}F(x)=f(x)\Leftrightarrow\int f(x)\text{d}x=F(x)+C$$

从而推知分部积分和换元积分在定积分中都可以使用

特殊性质

奇函数

$$f(x)=-f(-x)\Rightarrow\\ \int_{-a}^af(x)\mathrm dx=0$$

奇函数在对称区间上的积分为$0$

偶函数

$$f(x)=f(-x)\Rightarrow\\ \int_{-a}^af(x)\mathrm dx=2\int_{0}^af(x)\mathrm dx$$

三角函数

$$\int_{0}^{\frac\pi2}\sin x\mathrm dx=\int_{0}^{\frac\pi2}\cos x\mathrm dx=1$$ $$\int_{0}^{\frac\pi2}f(\sin x)\mathrm dx=\int_{0}^{\frac\pi2}f(\cos x)\mathrm dx$$ $$\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)\mathrm dx=\pi\int_{0}^{\frac\pi2}f(\sin x)\mathrm dx=\frac\pi2\int_{0}^{\pi}f(\sin x)\mathrm dx$$ $$\int_{0}^{\frac\pi2}\sin^n x\mathrm dx=\int_{0}^{\frac\pi2}\cos^n x\mathrm dx\\=\begin{cases}\frac{(n-1)\cdot (n-3)\cdots3\cdot1}{n(n-2)\cdots4\cdot2}\times\frac\pi2,n=2k\\ \frac{(n-1)\cdot (n-3)\cdots4\cdot2}{n(n-2)\cdots5\cdot3}\times1,n=2k+1 \end{cases}$$

周期函数

$$\int_{a}^{a+T}f(x)\mathrm dx=\int_{0}^Tf(x)\mathrm dx$$

积分值和$a$的选取无关

区间再现公式

$$\int_a^bf(x)\text{d}x=\int_a^bf(a+b-x)\text{d}x$$

积分对称原理

若$f(x) $关于$\frac{a+b}{2}$对称，根据区间再现公式

$$\int_{a}^{b} x f(x) \text{d} x=\frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) \text{d} x$$

Gamma

$$\Gamma(z)=\int^{\infty}_{0}e^{-t}t^{z-1} \,\mathrm{d}{t}$$

分部积分得

$$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$$

对于正整数

$$\Gamma(n)=(n-1)!$$

特别的，对于$x\in(0,1)$

$$\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin \pi x} \\ \Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}\\ \int_0^{+\infty}e^{-x^2/2}\text{d}x=\sqrt{2\pi}$$

反常积分

无界区间

积分区间无限或被积函数被积函数无界的积分，称为反常积分

$$\lim_{b\to +\infty}\int_a^bf(x)\text{d}x$$

存在，则称反常积分

$$\int_a^{+\infty}f(x)\text{d}x$$

收敛，同理

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\text{d}x=\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x+\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$$

只有两个积分都收敛则原积分收敛

无界函数

$f(x)$在$x=b$的左邻域无界，$\forall \eta\in(0,b-a)$，$f(x)$在$[a,a+\eta]$可积有界

$$\exists \lim_{\eta\to0^+}\int_a ^{b-\eta}f(x)\text{d}x=\int_a ^{b}f(x)\text{d}x$$

则称反常积分收敛，否则为发散

求积分

$$\int_a^{+\infty}f(x)\text{d}x=\left[F(x)\right]^{+\infty}_a=\lim_{x\to +\infty}F(x)-F(a)$$

这种方式不仅可以判定散敛性还可以求出值

p积分

$$\int_1^{+\infty}\frac1{x^p}\text{d}x$$

当$p>1$时积分收敛，$p\le1$

在$[0,1]$上正好相反

洛伦兹变换

在惯性系$S$和$S’$中质点$P$的时空坐标分别为$(x,y,z,t)$和$(x’,y’,z’,t’)$

注意，$S’$不是固定于$P$而是以一定速度运动

则有洛伦兹变换式

$$\begin{cases}\displaystyle x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\ y'=y\\ z'=z \\ \displaystyle t'=\frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \end{cases}$$

逆变换为

$$\begin{cases}\displaystyle x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\ y=y'\\ z=z' \\ \displaystyle t=\frac{t'+vx'/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \end{cases}$$

速度变换

$$u_x'=\frac{u_x-v}{1-\frac{u_x v}{c^2}}\\ u_y'=\frac{u_y\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-\frac{u_x v}{c^2}}\\ u_z'=\frac{u_z\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-\frac{u_x v}{c^2}}$$

逆变换

$$u_x=\frac{u_x'+v}{1+\frac{u_x' v}{c^2}}\\ u_y=\frac{u_y'\sqrt{1-v^2/c^2}}{1+\frac{u_x' v}{c^2}}\\ u_z=\frac{u_z'\sqrt{1-v^2/c^2}}{1+\frac{u_x' v}{c^2}}$$

若相对一个参考系为光速，则在另一个参考系也为光速

坐标变化量

$$\Delta x'=\frac{\Delta x-v\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\ \Delta x=\frac{\Delta x'+v\Delta t’}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

时间间隔

$$\Delta t=\frac{\Delta t'-v \Delta x'/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\ \Delta t'=\frac{\Delta t+v \Delta x/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

总结

首先找出哪个为$S$哪个为$S’$，求出相对速度

$$u_x'=\frac{u_x-v}{1-\frac{u_x v}{c^2}}\\$$

一个速度为$0$过渡为平凡情况，若都不为$0$则代公式

明确从哪个系测量$x,t$

同时同地是哪个系的，光速不变，仔细分析

动量和能量

动质量

$$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\ m^2=\frac {m_0^2c^2}{c^2-v^2}$$

动量

$$p=\frac{m_0v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\ a=\frac F{m_0}\left(1-\frac {v^2}{c^2}\right)^{\frac32 }$$

相对论动能

$$E_k=mc^2-m_0c^2=(\gamma-1)m_0c^2\\ E=m_0c^2+E_k$$

质能守恒定律

若为一个孤立系统，与外界没有能量交换

$$\sum m_ic^2=\text{Constant}$$

能量与动量的关系

$$E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2\\ p=\frac{\sqrt{E^2-E_0^2}}c$$

对于光子，有$E_0=0$

$$p=\frac Ec$$

刚体

定义

刚体指在力的作用下大小和形状都不发生变化的物体

其有两种运动

• 平动：其上任意两点的连线平行

• 转动：任意点都绕某轴做圆周运动

  其中分有定轴，动轴和定

角动量

对于刚体，我们知道其是由许多质元所组成的

利用微元的思想，据质点的角动量表达式

我们计算物体角动量在某一轴上的投影

$$\begin{aligned} \boldsymbol{L}_z&=\sum _i \boldsymbol{r}_i\times \boldsymbol{p}_i\\ &=\sum_im_i\boldsymbol{r}_i\times\boldsymbol{v}_i\\ &=\sum_i m_i\boldsymbol{\omega} r_i^2\\ &=\left ( \sum_i m_i r_i^2\right )\boldsymbol{\omega}\\ &=J_z\boldsymbol{\omega} \end{aligned}$$

对于刚体，我们引入一个重要的物理量，即转动惯量$J$

转动惯量

对于连续体，由转动惯量的定义，有

$$\begin{aligned} J&=\int_L r^2\lambda\text{d}l\\ &=\int_S r^2\sigma\text{d}S\\ &=\int_V r^2\rho\text{d}V\\ \end{aligned}$$

利用等效替代的思想，我们引入回旋半径$r_g$，由此知

$$J=Mr_g^2$$

对于常见的刚体

例，对于球体

$$\begin{aligned} J&=\int_V r^2\rho_0\text{d}V\\ &=\rho_0\iiint_\Omega (\rho\sin \theta )^2 \rho^2\sin \theta\,\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\mathrm{d}{\rho} \\ &=\rho_0\int_0^R\rho^4\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\sin^3\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\mathrm{d}{\rho} \\ &=\rho_0\int_0^R\rho^42\pi\frac43\mathrm{d}{\rho}=\frac{2mR^2}5 \end{aligned}$$

平行轴定理

$$J=J_c+md^2$$

垂直轴定理

$$I_z=I_x+I_y$$

利用对称性$(I_x=I_y)$，可以快速得到转动惯量

角动量守恒

若$M=0$

$$J\omega=C$$

对于转轴来说

• 外力与轴平行
• 外力与力臂平行(有心力)

则都有动量守恒

外力矩(只考虑外力)

$$\boldsymbol{M}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}_{外}$$

对于系统，角动量守恒的表达式为

$$\boldsymbol{M}\text{d}t=J\text{d}\boldsymbol{\omega}\\ J_1\boldsymbol{\omega}_1+J_2\boldsymbol{\omega}_2=J_1\boldsymbol{\omega}_1'+J_2\boldsymbol{\omega}_2'$$

刚体的能量

力矩的功

$$\text{d}W=M\text{d}\theta$$

转动动能

$$E_k=\frac12J\omega^2$$

动能定理

$$\int_{\theta_1}^{\theta_2}(M_{外}+M_{G})\text{d}\theta=\frac12J\omega_2^2-\frac12J\omega_1^2$$

和平动类似，故含刚体的系统需加上转动动能

$$\lim_{x\to\frac\pi2}(\sin x)^{\tan x}$$ $$\begin{aligned}\lim_{x\to\frac\pi2}(\sin x)^{\tan x} &=\lim_{x\to\frac\pi2}e^{\tan x\ln\sin x}\\&=\lim_{t\to1^-} e^{\tan x\ln t}\end{aligned}$$

法1

$$\begin{aligned}\because\lim_{t\to1^-} {\tan x\ln t}&=\lim_{t\to1^-}\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\ln t \\ &=\lim_{t\to1^-}t\cdot\lim_{t\to1^-}\frac{t-1}{\sqrt{1-t^2}}\\ &=1\cdot \lim_{t\to1^-}\sqrt{\frac{(t-1)^2}{1-t^2}}\\ &=\lim_{t\to1^-}\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}\\ &=0 \end{aligned}\\ \therefore 由复合函数的极限运算法则知\\ \lim_{t\to1^-} e^{\tan x\ln t}=e^{\lim_{t\to1^-} {\tan x\ln t}}=e^0=1$$

法2

$$t=x-\frac\pi2\to0,x=\frac\pi2+t\\ \begin{aligned}\lim_{x\to\frac\pi2}(\sin x)^{\tan x} &=\lim_{x\to\frac\pi2}e^{\tan x\ln\sin x} \\&=\lim_{t\to0} \exp \left \{ \frac{\sin \left(\frac\pi2+t \right)\ln\left[\sin \left(\frac\pi2+t \right)\right] }{\cos \left(\frac\pi2+t \right)}\right\} \\&=\lim_{t\to0} \exp \left \{ \frac{\sin \left(\frac\pi2+t \right)\left[\sin \left(\frac\pi2+t \right)-1\right] }{\cos \left(\frac\pi2+t \right)}\right\} \\&=\lim_{t\to0} \exp \left \{ \frac{\cos t (\cos t-1) }{-\sin t}\right\} \\&=\lim_{t\to0} \exp \left \{ \frac{1\cdot(-\frac12t^2) }{-t}\right\} \\&=\lim_{t\to0} e^{\frac12t}=e^0=1 \end{aligned}$$

简化

$$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sin x)^{\tan x} &=\lim _{x \rightarrow 0}\left[\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right]^{\tan \left(\frac{\pi}{2}-x\right)} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{\tan x}} \\ &=\exp \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-1}{\tan x} \\ & = \exp \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-x^{2} / 2}{x}=e^{0}=1 \end{aligned}$$ $$\lim_{x\to0}\frac{\cos(\tan x)-\cos x}{x^3\sin x}$$

法1

$$\begin{aligned} &\quad\,\lim_{x\to0}\frac{\cos(\tan x)-\cos x}{x^4}\\&= \lim_{x\to0}\frac{\cos(\tan x)-\cos x}{x^3\sin x}\\ &=\lim_{x\to0}\frac {\frac12(x^2-\tan^2x)+\frac1{24}(\tan^4x-x^4)+o(x^4)}{x^4}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{(x-\tan x)2x[\frac12+\frac1{24} (\tan^2x+x^2)]+o(x^4)}{x^4} \\&=\frac{x(-\frac13x^3)}{x^4}=-\frac13 \end{aligned}$$

法2

$$f(x)=\cos x,\frac{\cos (\tan x)-\cos x}{\tan x-x}=f'(\xi),\xi\in(x,\tan x)\\ \begin{aligned} &\quad\,\lim_{x\to0}\frac{\cos(\tan x)-\cos x}{x^4}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{(\tan x-x)f'(\xi)}{x^3\sin x}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{(\tan x-x)(-\sin \xi)}{x^3\sin x}\\ &=\lim_{x\to0}-\frac{1}{3}\frac{\sin \xi}{\sin x}=-\frac 13\\ \end{aligned}$$ $$\lim_{n\to \infty}\frac1{n^4}\prod_{k=1}^{2n}(n^2+k^2)^{\frac1n}=\lim_{n\to \infty}A$$ $$\int_0^kf(x)\text{d}x=\lim_{n\to \infty}\frac{k}n\sum_{i=1}^nf\left(\frac {ki}n\right)$$ $$\begin{aligned}A&=\exp\left [\frac1n\sum_{k=1}^{2n}\ln(n^2+k^2)+2\ln\frac{1}{n^2}\right]\\&= \exp\left [\frac1n\sum_{k=1}^{2n}\ln(n^2+k^2)+2n\frac1{n}\ln\frac{1}{n^2}\right]\\ &=\exp\left [\frac1n\sum_{k=1}^{2n}\ln\left(\frac{n^2+k^2}{n^2}\right)\right]\\ &=\exp\left [\frac1n\sum_{k=1}^{2n}\ln\left(1+\frac{k^2}{n^2}\right)\right]\\ \lim_{n\to \infty}A&=\exp \int_0^2\ln(1+x^2)\text{d}x\\ &=\exp\left\{\left[x\ln(1+x^2)\right]_0^2-\int_0^2\frac{2x^2}{1+x^2}\text{d}x\right\} \\ &=e^{2(\ln5-2+\arctan 2)} \end{aligned}$$

$$x^2-a=0\Rightarrow x={\color{red}\pm a(a\ge0)}\\ \sqrt{1-\cos^2x}=|\sin x|\\ \sqrt{1-\cos x}\sim\frac {\sqrt{2}}{2} {\color{red}{|x|}}\\ (\sqrt{a})^2=a,(\sqrt{a^2})=|a|\\ \sqrt{\frac AB},讨论A,B正负\\ f(x)>x\Rightarrow\begin{cases}\frac{f(x)}x>1,x>0\\ \frac{f(x)}x<1,x<0\\ f(0)>0,x=0 \end{cases}$$ $$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+b c+c a=\frac{1}{2}\left[(a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(c+a)^{2}\right] \\ a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right) \\ x^{n}-y^{n}=(x-y)\left(x^{n-1}+x^{n-2} y+\ldots+x y^{n-2}+y^{n-1}\right) \\ x^{2 n+1}+y^{2 n+1}=(x+y)\left(x^{2 n}-x^{2 n-1} y+x^{2 n-2} y^{2}-\ldots-x y^{2 n-1}+y^{2 n}\right) \\=(x+y) \cdot \sum_{i=0}^{2 n}\left[x^{2 n-i}(-y)^{i}\right] \\ x y+n x+m y+m n=(x+m)(y+n) \\ x y z+x y+y z+z x+(x+y+z)+1=(x+1)(y+1)(z+1) \\ x^{2} y+y^{2} z+z^{2} x+z^{2} y+y^{2} x+x^{2} z+2 x y z=(x+y)(y+z)(z+x) \\ x^{2} y+y^{2} z+z^{2} x+z^{2} y+y^{2} x+x^{2} z+3 x y z=(x+y+z)(x y+y z+z x) \\ x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z=(x+y+z)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-y z-z x\right) \\ =(x+y+z) \cdot \frac{1}{2}\left[(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}\right] \\$$ $$e=\sum_{i=0}^\infty \frac1{i!}\\ x=e^{\ln x}=\ln e^x$$ $$x+\sqrt{x^2+1}=C\\ \frac 1C=\sqrt{x^2+1}-x$$ $$a^2+b^2=c^2\\ 3,4,5\quad5,12,13\\ 8,15,17\quad7,24,25\\9,40,41$$