线性方程组

含有$n$个未知量$m$个方程的线性方程组定义为

$$\left.\left\{\begin{aligned}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n&=b_2\\\vdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n&=b_m\end{aligned}\right.\right.$$

可以写成

$$x_1\vec a_1+x_2\vec a_2+\cdots+x_n\vec a_n=\vec b$$

若$\vec b=\vec 0$则为齐次线性方程组

初等行变换

• $r_i\leftrightarrow r_j$
• $kr_i$
• $r_i+kr_j$

性质

行等价，则存在可逆矩阵$P$

$$PA=P(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=B$$

列等价

$$AQ=B$$

等价，则

$$PAQ=B$$

可逆的充要条件为

$A\sim E$

增广矩阵

$$[A|b]=\left.\left[\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_{2}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_{m}\end{array}\right.\right]$$

利用初等行变换化为阶梯型$[E|x]$

则方程组的解为

$$x=A^{-1}b$$

克拉默法则

$A_j$是把系数矩阵$A$中的第$j$列元素用方程组右端常数项代替后得到的$n$阶矩阵

则唯一解

$$x_j=\frac{|A_j|}{|A|}=\frac{1}{|A|}(b_1A_{1j}+\cdots+b_nA_{nj})$$

矩阵的秩

最高阶非零子式的阶数，又因为初等变换不改变秩

所以秩使用化阶梯型的方式计算

$$x_1\vec a_1+x_2\vec a_2+\cdots+x_n\vec a_n=\vec b$$

则方程组有解可以看成

$$R(A|b)=R(A)$$

加入$b$不改变列空间的维数

列空间和行空间的维数都是$R(A)$，列向量组和行向量组的秩都是$R$

若矩阵列$C$独立则

• $Cx=0$只有零解，0的表示唯一
• 若$\beta_1,\cdot\cdot\cdot,\beta_s\in F^{(n)}$ ，线性无关,则 $C\beta_1,\cdot\cdot\cdot,C\beta_s$ 线性无关
• $C$ 有左逆：(即有矩阵 X 使 $XC=I)$
• $C T x=b$ 总有解

列满秩则有解一定唯一

行满秩则必定有解，$|A|\ne 0,Ax=0$，则只有零解

不等式

$$\mathrm{rank(AB)}\leq \min\left\{\mathrm{rank(A)},\mathrm{rank(B)}\right\}$$ $$\mathrm{rank(A+B)\leq rank(A)+rank(B)}$$ $$\left.\mathrm{rank}(\mathrm{A}^*)=\left\{\begin{aligned}n.&&\mathrm{rank}(\mathrm{A})&=n\\1.&&\mathrm{rank}(\mathrm{A})&=n-1\\0.&&\mathrm{rank}(\mathrm{A})&<n-1\end{aligned}\right.\right.$$ $$R(AB)+n\ge R(A)+R(B)\quad\text{(Sylvester)}$$

线性相关

$$k_1\vec a_1+k_2\vec a_2+\cdots+k_n\vec a_n=0$$

其中$k$至少一个不为$0$

注意其中一个向量为零向量的情况

最大线性无关组

• 该向量组本身线性无关
• 任取一个矩阵中的其他向量, 与该向量组合并, 都会变成线性相关的向量组

换成行阶梯型看主元列，其他为自由变量

从而最大线性无关组向量数目$r=R(\alpha_1\cdots \alpha_n)$

对于线性方程组

无解，则$b$不在$A$列空间内

$$R(A)<R(A,b)$$

小于空间维数则有无穷多解

$$R(A)=R(A,b)<n$$

向量组等价

$$R(A)=R(B)=R(A,B)$$

解的结构

齐次线性方程组解满足线性性质

则非齐次通解为

$$x=k_1\xi_1+\cdots+k_n\xi_n+x_0$$

一个特解加通解，而通解由基础解系来表达，基础解系的维数等于零空间的维数

$$R(\xi_1,\cdots,\xi_n)=n-r$$

齐次线性方程组同解则零空间等价，$A\sim B$

向量空间

线性变换

满足线性性质

$$T(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2)=\lambda_1 T(x_1)+\lambda_2 T(x_2)$$

转换坐标

$$B=(b_1,\cdots,b_n),A=(a_1,\cdots,a_n)\\ B=AP\\ Py=x$$

其中$y$为向量在$B$下的坐标

同理线性变化也可以用矩阵$A$表示（在$\alpha$基下）

对于不同基

$$T(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)A$$

则坐标

$$T(\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i)=T(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\left(\begin{array}l x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\\\end{array}\right)$$

矩阵$A$也可以直接把$T(\alpha_i)$用$(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$表示写成列向量即可

若同一个线性变换在不同基下分别表示为$A,B$，变换矩阵为$P$，则有

$$B=P^{-1}AP$$

四元数

$$\left.\mathbf{q}=\left[\begin{array}{cccc}q_0&&q_1&&q_2&&q_3\end{array}\right.\right]^T$$

定义$\psi$, $\theta$, $\phi$分别为绕Z轴、Y轴、X轴的旋转角度

称为欧拉角

$$\left.\left[\begin{array}{c}\phi\\\theta\\\psi\end{array}\right.\right]=\left[\begin{array}{c}\arctan\frac{2(q_0q_1+q_2q_3)}{1-2(q_1^2+q_2^2)}\\\arcsin(2(q_0q_2-q_3q_1))\\\arctan\frac{2(q_0q_3+q_1q_2)}{1-2(q_2^2+q_3^2)}\end{array}\right]$$

欧拉角转四元数

$$\begin{cases}z=\sin\left(\frac\theta2\right)\\ w=\cos\left(\frac\theta2\right)\end{cases}$$ $$\mathbf{q}=\begin{bmatrix}\cos\frac \theta2\\\mathbf{u}\mathrm{sin}\frac \theta2\end{bmatrix},\mathbf{u}=\begin{bmatrix} 1\\0 \\0 \end{bmatrix}$$

四元数旋转公式

$$\mathbf{v}^{\prime}=\mathbf{qvq}^{*}$$

复合性质

$$\begin{array}{b}\mathbf{v}^{\prime\prime}&=\mathbf{q}_{2}\left(\mathbf{q}_{1}\mathbf{v}\mathbf{q}_{1}^{*}\right)\mathbf{q}_{2}{}^{*}\\ &=\left(\mathbf{q}_2\mathbf{q}_1\right)\mathbf{v}\left(\mathbf{q}_2\mathbf{q}_1\right)^*\end{array}$$ $$\mathbf{q}_{\mathrm{d}}=\Delta\mathbf{q}\cdot\mathbf{q}_{\mathrm{s}}\\ \mathbf{q}_\mathrm{d}\cdot\left(\mathbf{q}_\mathrm{s}\right)^{-1}=\Delta\mathbf{q}\cdot\mathbf{q}_\mathrm{s}\cdot\left(\mathbf{q}_\mathrm{s}\right)^{-1}\\\Delta\mathbf{q}=\mathbf{q}_\mathrm{d}\cdot\left(\mathbf{q}_\mathrm{s}\right)^{-1}$$

DH

$$_{i-1}\mathbf{T}_i=\mathbf{D}_{z_i-1},_{d_i}\mathbf{R}_{z_i-1},_{\theta_i}\mathbf{D}_{x_i-1},_{a_i}\mathbf{R}_{x_i-1},_{\alpha_i}=\begin{pmatrix}\cos\theta_i&-\sin\theta_i\cos\alpha_i&\sin\theta_i\sin\alpha_i&a_i\cos\theta_i\\\sin\theta_i&\cos\theta_i\cos\alpha_i&-\cos\theta_i\sin\alpha_i&a_i\sin\theta_i\\0&\sin\alpha_i&\cos a_i&d_i\\0&0&0&1\end{pmatrix}$$ $$\begin{array}{cccc} \text{Joint} & \theta & d & a & \alpha \\ \hline 1 & 0 & 0.156 & 0 & \frac{\pi}{2} \\ 2 & \frac{\pi}{2} & 0 & 0.0815 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0.127 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0.1075 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0.074 & -\frac{\pi}{2} \\ 6 & 0 & 0.05 & 0 & 0 \\ \end{array}$$

5dof

$$\begin{array}{cccc} \text{Joint} & \theta & d & a & \alpha \\ \hline 0 & \theta_0 & 0 & 0 & \frac{\pi}{2} \\ 1 & \theta_1 & 0 & L_1 & 0 \\ 2 & \theta_2 & 0 & L_2 & 0 \\ 3 & \theta_3 & 0 & L_3 & 0 \\ 4 & \theta_4 & 0 & 0 & \frac{\pi}{2} \\ \end{array}$$

3dof机械臂

$$\begin{align*} B_x &= x - L_3\cos(\gamma) \\ B_y &= y - L_3\sin(\gamma) \\ \beta &= \cos^{-1}\left(\frac{B_x^2 + B_y^2 + L_1^2 - L_2^2}{2L_1\sqrt{B_x^2 + B_y^2}}\right) \ \\ \alpha &= \operatorname{atan2}(B_y, B_x)\\ \theta_1&=\alpha\pm\beta\\ \gamma&= \theta_1 + \theta_2 +\theta_3 \end{align*}$$

雅可比矩阵

$$J_i=\begin{bmatrix}\hat z\times \vec d[:2]\\1\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}v_x\\v_y\\ \omega\end{bmatrix}=J\begin{bmatrix}\dot q_1\\\dot q_2\\ \dot q_3\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}\text d q_1\\\text d q_2\\ \text d q_3\end{bmatrix}=J^{-1}\begin{bmatrix}\text dv_x\\\text dv_y\\ \text d\omega\end{bmatrix}$$

黑体辐射

黑体辐射的两个结论

$$M(T)=\sigma T^4\\ \lambda_mT=b$$

量子化假设

利用量子化假设可以很好地解决黑体辐射问题

$$\varepsilon_n=nh\nu$$

其中$n$称为量子数，$\varepsilon$称为能量子

光电效应

见高中

康普顿效应

单个光子与自由电子碰撞，从而得到光子波长改变

$$\Delta\lambda=\lambda-\lambda_0=\frac{h}{m_0c}(1-\cos\theta)$$

其中康普顿波长为

$$\frac{h}{m_0c}=\lambda_C$$

因为核质量太大散射光中存在等于波长等于入射光波长的成分

所以康普顿散射对原子质量小的物质比较明显

波尔氢原子模型

三个假设

定态，原子中的电子在特定轨道半径才稳定

当电子从一个轨道向另一个轨道跃迁时会吸收或放出光子

最后角动量量子化

$$L=m_evr=n\frac{L}{2\pi}$$

得到如下结果

$$r_n=r_1n^2$$

同时由动能表达式

$$E_k=\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0r_n}\\ E_p=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r_n}\\ E_n=-\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0r_n}=\frac{E_1}{n^2}$$

不确定性关系

$$\Delta p\Delta x\ge \frac\hbar2 \\ \Delta E\Delta t\ge \frac\hbar2$$

波函数

$$\int|\Psi |^2\text dx=1$$

其中$|\Psi |^2$为概率

一维无限深势阱

$$V(x)=\begin{cases}0\quad(0<x<a)\\ \infty\quad (x\le0,x\ge a)\end{cases}$$

得到

$$\psi(x)=\sqrt{\frac2a}\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)$$

故

$$\psi^2(x)=\frac2a\sin^2\left(\frac{n\pi}{a}x\right)$$

一维势垒

动量矩

转动惯量参见大学物理

对质心的动量矩全部取用相对物理量

$$L_C=\sum r_i'\times m_iv_{ir}$$

从而对于任意固定点，带入绝对速度

$$L_O=\sum r_i\times m_iv_i=r_C\times mv_C+L_C$$

表示对任意$O$的动量矩等于质心平移加上相对质心的动量矩

定理

类比动量定理有动量矩定理

$$\frac{\text dL_C}{\text dt}=\sum M_C(F_i^{(e)})$$

右式为质点系外力对质心的主矩

从而可得刚体平面微分方程

$$\begin{cases}ma_{Cx}=\sum F_x\\ ma_{Cy}=\sum F_y\\ J_C\alpha=\sum M_C(F_i^{(e)})\end{cases}$$

达朗贝尔原理

对于单个质点

$$F+F_{内}+F_{I}=0$$

其中惯性力$\vec F_I=-m\vec a$

对于质点系，有

$$\begin{cases}\sum F+F_I=0\\ M_O(F+\sum F_ {Ii})=0\end{cases}$$

从而对于定轴转动，有如下简化

若为绕质心，则有

$$M_O=-J_C\alpha$$

若为一定点，则有

$$M_O=-(J_C+md^2)\alpha$$

而对于平动，如果简化中心为质心

$$M_{IC}=0$$

否则为

$$-mr_C\times a_C$$

杨氏双缝干涉

发光

原子在能级之间跃迁时会发出一列有限长度的光波称为光波列

$$l=c\Delta t$$

普通光源由于跃迁的随机性所以不满足干涉条件

现代技术可以实现相干光的产生，能产生的光源称为相干光源‘

原理

干涉极大和极小的条件分别为

$$\delta=r_2-r_1=\pm k\lambda/\pm(2k-1)\frac\lambda2$$

利用几何关系 ,可得亮纹位置

$$x=\pm k\frac{D\lambda}d$$

暗纹位置

$$x=\pm (2k-1)\frac{D\lambda}d$$

从而得到相邻两明或暗纹的间距为

$$\Delta x=\frac{D\lambda}d$$

光程

由于光在不同介质中传播的速度不同，有光程$nr$

$$\delta=n_1r_1-n_2r_2$$

注意薄透镜不会引起附加的光程差

薄膜干涉

薄膜，两波的光程差不是很大，两束光出自同一波列

$$\delta=n_2(AB+BC)-n_1 CD$$

借助折射定律和几何关系

$$\begin{array}{l}\delta&=2d\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}\\ &=2dn_2\cos r\end{array}$$

增反膜和增透膜

等厚干涉

通过劈尖可以将长度转为高度

$$\Delta d=d_{k+1}-d_k=\frac\lambda{2n}$$

则条纹间距为

$$l=\frac\lambda{2n\sin\theta}\approx\frac\lambda{2n\theta}$$

利用这种可以检测厚度等微小物理量

牛顿环

明纹

$$r=\sqrt{(2k-1)\frac{R\lambda}{2n}}$$

暗纹

$$r=\sqrt{\frac{kR\lambda}n}$$

迈克尔逊干涉仪

利用等效原理，可以把$M_1,M_2’$看成两个面

则若有夹角称为等厚干涉，平行称为等倾干涉

若为空气则调整间距可以得到

$$d=N\frac\lambda2$$

衍射

单缝夫琅禾夫衍射，使用菲涅尔半波带法

$$a \sin \varphi=\left\{\begin{array}{l} \pm k \lambda, k=1,2,3, \ldots \\ \pm(2 k+1) \frac{\lambda}{2}, k=1,2,3, \ldots \end{array}\right.$$

注意不能带入$\lambda=0$，没有相消

$$-\lambda<a\sin\varphi<\lambda$$

这个范围对应中央明纹，不能分析非整数倍

$$l_0\approx2\frac{\lambda}b$$

暗纹精确成立，明纹近似成立亮度$(\frac{1}{N-1})$

多缝

光栅方程

$$d\sin\varphi=k\lambda\\ |\sin\varphi|<1\\ (a+b)\sin\varphi=k\lambda \;(k=0,\pm1,\cdots,\pm\left \lfloor \frac{a+b}\lambda\right \rfloor )\\$$

用来计算主极大条纹的位置

缺级

$$(a+b)\sin\varphi=k\lambda\\ a\sin\varphi=k'\lambda$$

$\pm k,\pm k’$都为整数

$N$条光栅，有$N-1$条暗纹，$N-2$条次极大

设$a$为第一明纹和中心之间的距离，$x_2-x_1$为光屏到光栅之间的距离，则由光栅方程

$$d\sin\varphi=\lambda\\ \tan\varphi=\frac{a}{x_2-x_1}\\ d=\lambda\sqrt{a^2+(x_2-x_1)^2}$$

二重积分

$$\lambda=\max\{\Delta A_k\}\\ \iint_Df(x,y)\text d\sigma=\lim_{\lambda\to0}\sum _if(\xi_i,\eta_i)\Delta A_i$$

其中$f(x,y)$称为被积函数，$f(x,y)\text d\sigma$称为被积表达式，积分区域为$D$，$\text d\sigma$为面积元素，$\displaystyle \sum _if(\xi_i,\eta_i)\Delta A_i$称为积分和

性质

可加性

$$\iint_D=\iint_{D_1}+\iint_{D_2}$$

线性

$$a\iint_D\text d \sigma=\iint_Da\text d \sigma\\ \iint_D[\alpha f+\beta g]\text d \sigma=\alpha\iint_Df \text d \sigma+\beta\iint_Dg\text d \sigma\\$$

绝对值不等式

$$\left|\iint_Df\text d\sigma\right|\le\iint_D|f|\text d\sigma$$

估值

$$m\sigma\le\iint_Df(x,y)\text d\sigma\le M\sigma$$

中值定理

$$\iint_Df(x,y)\text d\sigma=f(\xi,\eta)\sigma$$

平均值

$$\overline{f}=\frac{\displaystyle \iint_Df(x,y)\text d\sigma}{\sigma}$$

对称性

如果$D$关于$x$轴对称，被分为$D_1$和$D_2$

$$f(x,y)=-f(x,-y)\Rightarrow\iint_Df=0\\ f(x,y)=f(x,-y)\Rightarrow\iint_Df=2\iint_{D_1}f$$

若$D$关于$y=x$对称

$$\iint_Df(x,y)=\iint_{D}f(y,x)$$

若$D_1$和$D_2$关于$y=x$对称

$$\iint_{D_1}f(x,y)=\iint_{D_2}f(y,x)$$

计算法

直角坐标

$$\iint_Df(x,y)\text d\sigma=\iint_Df(x,y)\text dx\text dy$$

先在一条线上作定积分，再对线作定积分

$$x:\quad I=\int_a^b\text dx\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\text dy\\ x:\quad I=\int_c^d\text dy\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)\text dx$$

极坐标

$$I=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\text d\theta\int_{\rho_1(\theta)}^{\rho_2(\theta)}f(\rho\cos\theta,\rho \sin \theta)\rho\text d\rho$$

注意积分上下限，如双扭线$\rho=\sqrt{4\cos 2\theta}$

平移变换

$$\iint_Df(x,y)\text dx \text dy=\iint_{D'}f(u+x_0,v+y_0)\text du\text dv$$

换元积分

满足条件

有雅可比$x(u,v),y(u,v)$在D上一阶偏导连续

$$J(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\ne0$$

且$D’\to D$ 的变换为一一映射，则有

$$I=\iint_{D'}f[x(u,v),y(u,v)]|J(u,v)|\text du\text dv\\ |J(u,v)|=\frac1{|J(x,y)|}$$

画出还原后的区域即可

三重积分

$$\lambda=\max\{\Delta V_k\}\\ \iiint_{\Omega}f(x,y,z)\text dv=\lim_{\lambda\to0}\sum _if(\xi_i,\eta_i,\zeta _i)\Delta V_i$$

计算法

三次积分

$$I=\int_a^b\text dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}\text dy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\text dz$$

先找到投影区域再对$z$积分从而化为二次积分，积分可换序

也可先计算二重积分(投影法)

$$I=\int_{c_1}^{c_2}\text dz\iint_{D_z}f(x,y,z)\text dy\text dz$$

柱面坐标

对二重积分使用极坐标得到

$$I=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\text d\theta\int_{\rho_1(\theta)}^{\rho_2(\theta)}\rho\text d\rho\int_{z_1(\theta,\rho)}^{z_2(\theta,\rho)}f(\rho\cos\theta,\rho \sin \theta,z)\text dz$$

球坐标

$$\begin{cases}x=r\sin\varphi\cos\theta\\ y=r\sin\varphi\sin\theta\\ z=r\cos\varphi\end{cases}$$

$$I=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\text d\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}\sin\varphi\text d\varphi\int_{r_1(\theta,\varphi)}^{r_2(\theta,\varphi)}f(x,y,z)r^2\text dr$$

一定要画出积分区域

应用

曲面面积

$$A=\iint_D\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\text dx\text dy$$ $$E=x_{u}^{2}+y_{u}^{2}+z_{u}^{2} \\ F=x_{u} \cdot x_{v}+y_{u} \cdot y_{v}+z_{u} \cdot z_{v} \\ G=x_{v}^{2}+y_{v}^{2}+z_{v}^{2} \\ A=\iint_{D} \sqrt{E G-F^{2}} \mathrm{~d} u \mathrm{d} v$$

质心

$$x_C=\frac{\displaystyle \iiint_{\Omega} x \text dv}{V}$$

转动惯量

$$I_L=\displaystyle \iiint_{\Omega} r^2(x,y)\rho(x,y) \text dv\\ I_z=\displaystyle \iiint_{\Omega} (x^2+y^2)\rho(x,y) \text dv$$

曲线积分

第一类

$$\lambda=\max\{\Delta s_k\}\\ \int_Lf(x,y,z)\text ds=\lim_{\lambda\to0}\sum _if(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta s_i$$

$f(x,y,z)$为积分函数，$L$为积分弧段

性质

满足线性性质，可加性，绝对值不等式

$$f(x,y)\le g(x,y)\\ \int_Lf\text ds\le \int_L g\text ds$$

计算法

曲线可表示为参数方程，对二维

$$\int_Lf\text ds=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t),\phi(t)]\sqrt{\varphi'^2(t)+\phi'^2(t)}\text dt$$

为使$\text ds\sim\text dt>0$，积分上限总大于积分下限

若可表示为函数或极坐标，则有

$$\begin{aligned} s &=\int_{a}^{b}f\sqrt{1+y'^2}\text{d}x\\ &=\int_{\alpha}^{\beta}f\sqrt{\rho^2(\varphi)+\rho'^2(\varphi)}\text{d}\varphi \end{aligned}$$

第二类

由变力做功可以得出对坐标的曲线积分

$$W=\int_L\vec F\cdot \text d\vec s$$

由点积的定义可得

$$F=P\vec i+Q\vec j\\ I=\int_LP\text dx+\int_LQ\text dy$$

性质

可加性和线性性质都满足

$$\int_{L^-}\vec F\cdot \text d\vec s=-\int_{L}\vec F\cdot \text d\vec s$$

因为向量有方向所以需要注意曲线积分的方向

计算法

同样利用参数方程换元得到

$$I=\int_L[P\varphi'(t)+Q\phi'(t)\text] dt$$

对称性，偶零奇倍

若$L$关于$x$，$f$关于y为偶，则

$$\int_LP\text dx=0$$

若L关于$y=x$对称则

$$\int_Lf(x,y)\text dx+\int_Lf(y,x)\text dy=0$$

联系

对$\text ds$分解可得到$\text dx,\text dy$

$$\int_LP\text dx+Q\text dy=\int_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta )\text ds$$

在某一弧处的单位切向量为

$$\boldsymbol{\tau}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$$

有向曲线元为

$$\text d\boldsymbol {r}=\boldsymbol{\tau}\text ds=(\text dx,\text dy,\text dz)$$

格林公式

对于单连通域(无洞)，定义曲线正向为绕行一直在左边

若满足条件

• 单连通闭区域$D$
• 光滑曲线$L$
• $P(x,y)$和$Q(x,y)$具有连续偏导数

则有旋度形式

$$\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text dx\text dy=\oint_{\partial D}P\text dx+Q\text dy$$

散度形式

$$\iint_{D}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)\text dx\text dy=\oint_{\partial D}P\text dy-Q\text dx$$

全微分求积

积分与路径无关，保守场，有

$$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$$

从而要求路径积分只需考虑始末位置，取折线即可

若要找到一个函数$u(x,y)$

$$\text du=P\text dx+Q\text dy$$

则有

$$u_0(x,y)=\int_{x_0}^xP(x,y_0)\text dx+\int_{y_0}^yQ(x,y)\text dy$$

全微分方程

若方程为

$$P\text dx+Q\text dy=0,\text{find }F(x,y)=0$$

满足

$$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$$

则可知$u=C$

$$u=C=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P\text dx+Q\text dy$$

曲面积分

第一类

$$\lambda=\max\{\Delta S_k\}\\ \iint_{\Sigma}f(x,y,z)\text dS=\lim_{\lambda\to0}\sum _if(\xi_i,\eta_i,\zeta _i)\Delta S_i$$

由面积投影定理可以知道

$$I=\iint_R\frac {f(x,y,z(x,y))}{|\cos\gamma|}\text dA$$

对于一般曲面$f(x,y,z)=c$和方向向量$p$

$$\frac1{|\cos\gamma|}=\frac{|\nabla f|}{|\nabla f\cdot p|}\text dA$$

特别的，对$z=f(x,y)$

$$\nabla f=\left(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},-1\right)\\ I=\iint_Df\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\text dx\text dy$$

换元法

对于参数

$$\begin{cases}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\z=z(u,v)\end{cases}$$ $$I=\int_a^b\text du\int_c^df\begin{Vmatrix} i& j & k\\ x_u& y_u & z_u \\ x_v& y_v & z_v \end{Vmatrix}\text dv\\ I=\int_a^b\text du\int_c^df||e_u\times e_v||\text dv$$

或者用雅可比表示

$$\sqrt{\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}^2+\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}^2+\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}^2}$$

第二类

有向曲面，法向量和轴同向

$$(\Delta S)_{xy}=\begin{cases}(\Delta\sigma)_{xy},\cos\gamma>0\\ -(\Delta\sigma)_{xy},\cos\gamma<0\\ 0,\cos\gamma=0\end{cases}$$

对于三维向量场

$$v=Pi+Qj+Rk$$

对某个坐标面

$$\iint_{\Sigma}P(x,y,z)\text dy\text dz=\lim_{\lambda\to0}\sum _iP(\xi_i,\eta_i,\zeta _i)(\Delta S_i)_{xy}$$

对其余两个面也有同样积分

从而这三个曲面积分称为第二类曲面积分

具有可加性和方向性

计算法

关键是把积分从曲面转化为二重

$$\iint_{\Sigma}P(x,y,z)\text dy\text dz=\pm\iint_{D_{yz}}P[x(y,z),y,z]\text dy\text dz$$

利用可加性将曲面分成$\cos\gamma$同号的区域

或者换元

$$I=\iint_\Sigma\vec v\cdot (e_u\times e_v)\text du\text dv$$

对称性，$\Sigma$关于$xOy$对称，$P$关于$z$为偶函数

$$\iint_\Sigma P\text dx\text d y=0$$

轮换对称

$$f(x,y,z)\text dx\text dy=f(y,z,x)\text dy\text dz=f(z,x,y)\text dz\text dx$$

联系

$$\iint_{\Sigma}P\text dy\text dz+Q\text dz\text dx+R\text dx\text dy=\iint_{\Sigma}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\text dS\\ \iint_{\Sigma}\bold{A}\cdot \text{d}\bold{S}=\iint_{\Sigma}\bold{A}\cdot \bold{n}\text dS$$

从而计算时利用

$$\frac{\text dy\text dz}{n_x}=\frac{\text dz\text dx}{n_y}=\frac{\text dx\text dy}{n_z}$$

换成某一个面的积分

高斯公式

格林公式在三维空间的推广

$$\iint_\Sigma P\text dy\text d z+Q\text dz\text d x+R\text dx\text d y=\pm\iiint_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\text dv$$

其中外侧为正向，向内为负向

斯托克斯公式

对于三维曲面边界

$$\oint _CP\text dx+Q\text dy+R\text dz=\iint_\Sigma\begin{vmatrix} \text dy\text dz& \text dz\text dx & \text dy\text dz\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P& Q & R \end{vmatrix}$$

对于阴极射线的研究发现

$$F=q\vec E+q\vec v\times \vec B$$

洛伦兹力

同上式

$$F=qvB\sin\theta$$

从而可以得到磁感应强度

$$B=\frac{F_\text{max}}{q_0v}$$

同电场可以定义磁感应线

经典结论

$$R=\frac{mv}{Bq} \\T=\frac{2\pi m}{qB}$$

对于与磁场方向成一定角度的运动，螺距$h$

$$h=v_{\parallel}T=\frac{2\pi mv_0\cos\theta}{qB}$$

电流

$$I=\frac{\text dq}{\text dt}=nqSv$$

引入电流强度

$$\vec j=nq\vec v$$

从而电流可以表示成通过个面积元电流的积分电流得到

$$I=\int_Sj\text dS$$

安培力

$$\text dF=nS\text dl(qv_d\times B)\\ F=\int_LI\text dl\times B$$

对于直导线

$$F=BIL\sin \theta$$

对于两平行直导线

$$\frac{\text d F_{21}}{\text dl_1}=\frac{\text d F_{21}}{\text dl_1}=\frac {\mu_0 I_1I_2}{2\pi d}$$

磁力偶矩

$$M=\vec m\times \vec B\\ m=NIS\vec e$$

磁场力做功

$$W=\int_II\text d\Phi$$

毕奥萨伐尔定律

对于电流元$I\text dl$，定律告诉我们

$$\text dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\vec I\text dl\times \vec r}{r^3}$$

$\mu_0$为真空磁导率

应用

常见的磁场

导线

$$B=\frac{\mu_0I}{4\pi a}(\cos \theta_1-\cos \theta_2)$$

无限长

$$B=\frac{\mu_0I}{2\pi a}$$

$$B=\frac{\mu_0}2\frac{IR^2}{(R^2+x^2)^{3/2}}$$

对于$x=0$处

$$B=\frac{\mu_0I}{2 a}$$

若远离

$$B=\frac{\mu_0IS}{2\pi x^3},S=\pi R^2$$

引入磁矩

$$m=ISe_n$$

这就是磁偶极磁场

运动电荷，有

$$B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{qv\times e_r}{r^2}$$

高斯定理

磁场的散度为零

$$\text{div}B=0$$

所以有

$$\oint_SB\cdot\text dS=0$$

安培环路定理

$$\oint_LB\text dl=\mu_0\sum_iI_i$$

电流方向符合使用右手定则得到的绕行方向时为正

安培力

电流是由大量带电粒子定向运动而形成的，由洛伦兹力可以得到

$$\text dF=I\text dl\times B\\ F_A=\int_LI\text dl\times B$$

对于最基本的直线电流

$$F=BIL\sin\theta$$

对于两根长直导线

$$\frac{\text d F}{\text dl}=\frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi d}$$

磁力矩

对于线圈来说在磁场中会受力产生力矩

$$M=m\times B \\m=NIS\vec{e_n}$$

其中$\vec{e_n}$的方向由右手定则确定

对于法向量与磁场方向的夹角$\theta$

• $\theta=0^{\circ}$线圈不受磁力偶矩的作用此时线圈处于稳定平衡状态
• $\theta=90^{\circ}$线圈所受磁力偶矩最大
• $\theta=180^{\circ}$线圈处于不稳定平衡状态

对安培力做功无论是平动还是转动

$$W=I\Delta\Phi_m=\int_{\Phi_m}I\text d\Phi_m$$

磁介质

类比电介质我们引入磁介质和相对磁导率

戒指内部任意点的磁场强度$B$可表示为外磁场$B_0$和附加磁场$B’$的矢量和

$$B=B_0+B'=\mu_rB_0$$

1. $\mu_r>>1$铁磁性磁场被大大增强
2. $\mu_r>1$顺磁性磁场被加强
3. $\mu_r<1$ 抗磁性磁场被削弱
4. $\mu_r=0$完全抗磁性磁场被抵消

为了描述磁介质的被磁化强度，我们引入磁化强度

$$M=\frac{\sum m_i}{\Delta V}$$

在宏观上石戒指可在表面形成等效环形电流称为磁化电流

类比$P_n=\sigma$

$$M=j_s=\frac{I_s}{L}$$

$j_s$称为磁化面电流线密度，故对于安培定理

$$\oint_LB\text dl=\mu_0\sum_iI_i+\oint_LM\cdot\text dl\\ \oint_L\left(\frac{B}{\ \mu_0}-M\right)\text dl=\sum_iI_i$$

定义$H$ 为磁场强度

$$H=\left(\frac{B}{\ \mu_0}-M\right)$$

对于各向同性的均匀磁介质

$$M=\chi _mH\\ B=\mu_0(1+\chi _m)H=\mu_0\mu_rH=\mu H$$

其中$\chi _m$为磁化率，$\mu_r$称为相对磁导率，$\mu$为磁导率

引入位移电流

$$\oint_LH\text dl=I_c+\int_S\frac{\partial D}{\partial t}\cdot\text dS$$

这就是全电流的安培环路定理二分，位移电流同磁化电流没有热效应

电磁感应

$$\mathscr{E}_i=-\frac{\text d\Phi}{\text dt}\\ \Psi =N\Phi \\ q=\frac1R(\Psi_1-\Psi _2)$$

对$\Phi$求导得到两个分量

$$\mathscr{E}_i=\int_L(v\times B)\cdot \text dl-\int_S\frac{\partial B}{\partial t}\cdot\text dS$$

分别为动生和感生电动势

$$\mathscr{E}_{感}=\oint_LE_k\cdot\text dl=-\frac{\text d\Phi}{\text dt}$$

自感

$$\Psi =N\Phi=LI\\ \mathscr{E}_{L}=-L\frac{\text dI}{\text dt}$$

互感

$$\Psi _{21}=M_{21}I_1\\ \Psi _{12}=M_{12}I_2\\ M=M_{12}=M_{21}\\ \mathscr{E}_{12}=-M\frac{\text dI_2}{\text dt}\\ \mathscr{E}_{21}=-M\frac{\text dI_1}{\text dt}$$

自感$L$和互感$M$单位都为亨利

一般的

$$M=k\sqrt{L_1L_2}\quad(k\le1)$$

能量

$$W_m=\int_V\frac12\frac{B^2}{\mu}\text dV$$

所以有能量密度

$$w_m=\frac12\frac{B^2}{\mu}=\frac12BH$$

对于自感，有

$$W_m=\frac12LI^2$$

信号

Unit sample sequence

$$\delta(n)=\begin{cases}1,n=0\\0,n\ne0\end{cases}=\{⋯,0,0,1,0,0,⋯\}$$

Unit step sequence

$$u(n)=\begin{cases}1,n≥0\\0,n<0\end{cases}=\{⋯,0,0,1,1,1,⋯\}$$

卷积

$$(a*b)_n=\sum_{i+j=n}a_j\cdot b_j\\ x*h(n)=\sum_{k}x(k)h(n-k)$$

有限差分

Forward

$$\frac{\text{d}f}{\text dt}=\frac{f(t_0+\Delta t)-f(t_0)}{\Delta t}$$

Backward

$$\frac{\text{d}f}{\text dt}=\frac{f(t_0)-f(t-\Delta t)}{\Delta t}$$

更精确(二阶)

$$\frac{\text{d}f}{\text dt}=\frac{f(t_0+\Delta t)-f(t_0-\Delta t)}{2\Delta t}$$

二阶导数

$$\frac{\text{d}^2f}{\text dt^2}=\frac{f(t_0+\Delta t)+f(t_0-\Delta t)-2f(t_0)}{\Delta t^2}$$

理查森外推公式

对于某个带误差的式子

$$Q=F(h)+kh^n$$

再加入一个方程可以得到

$$Q=\frac{2^nF(h/2)-F(h)}{2^n-1}$$

插值

拉格朗日

$$L_{n-1}(x)=\sum_{k=0}^{n-1}y_k\frac{\displaystyle\prod_{j\ne k}(x-x_j)}{\displaystyle\prod_{j\ne k}(x_k-x_j)}\\ p(x)=\prod_{j\ne k}(x-x_j)$$

缺点：在一堆原始点中，只改变了其中几个点的情况下，所有的基函数和插值曲线都要重新计算

牛顿

差商

$$f[x_0]=f(x_0)\\ f[x_0,x_1]=\frac{f[x_1]-f[x_0]}{x_1-x_1}\\ f\left[x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}\right]=\frac{f\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right]-f\left[x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n-1}\right]}{x_{n}-x_{0}}$$

则有牛顿插值公式

$$\begin{array}{l} f(x)=f\left[x_{0}\right]+f\left[x_{0}, x_{1}\right]\left(x-x_{0}\right) \\ +f\left[x_{0}, x_{1}, x_{2}\right]\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)+\ldots \\ +f\left[x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right]\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \ldots\left(x-x_{n-1}\right) \end{array}$$

数值积分

Trapezoid

用四边形进行逼近，如图$(a)$

$$\int_{x_0}^{x_1}f(x)\text dx=h\left [\frac{f(x_1)+f(x_0)}2\right]$$

每两个点进行采样，从而有

$$\int_{a}^{b}f(x)\text dx=\frac h2\left [f(a)+f(b)+2\sum_{i=1}^{m-1}f(x_i)\right]-\sum_{i=1}^{m-1}\frac{h^3}{12}f''(c_i)$$

由广义介值定理

$$f(x)\sum_{i=1}^na_i=\sum_{i=1}^na_i f(x_i)\\ \sum_{i=1}^{m-1}\frac{h^3}{12}f''(c_i)=\frac{h^2(b-a)}{12}f''(c)$$

Simpson

用二次函数来插值三个点，积分得

$$\int_{x_0}^{x_2}f(x)\text dx=\frac h3(y_0+4y_1+y_2)-\frac{h^5}{90}f^{(5)}(c)$$

从而对于区间$[a,b]$

$$\int_{a}^{b}f(x)\text dx=\frac h3\left [f(x_0)+f(b)+2\sum_{i=1}^{m-1}f(x_{2i})+4\sum_{i=1}^{m}f(x_{2i-1})\right]$$

龙贝格

Romberg Integration

利用外推公式和增加细分

$$h_j=\frac{b-a}{2^{j-1}}\\ R_{j,1}=\frac 12R_{j-1,1}+h_j\sum_{i=1}^{2^{j-1}}f[a+(2j-1)h_j]\\ R_{j,k}=\frac{4^{k-1}R_{j,k-1}-R_{j-1,k-1}}{4^{k-1}-1}$$

自适应

Adaptive Quadrature

如果使用Simpson方法

$$\text {error}=\frac 1{15}\left[S(a,b)-S\left(a,\frac{a+b}2\right)-S\left(\frac{a+b}2,b\right)\right]$$

二维

用网格来表示

偏微分方程

对于$u(x,y)$

$$Au_{x x} + Bu_{x y} + Cu_{yy} + F(u_x ,u_y ,u, x, y) = 0$$

利用前面的公式固定一个变量，有

$$u_{x x}(x, t) \approx \frac{1}{h^{2}}(u(x+h, t)-2 u(x, t)+u(x-h, t))$$

对于热传导方程，使用Forward Difference Method

$$u_t=Du_{xx}\\\sigma =\frac{Dk}{h^2}\\ \\w_{i,j+1}=\sigma w_{i+1,j}+(1-2\sigma)w_{i,j}+\sigma w_{i-1,j}$$

如果直接能从前面的值推算出后面的值则为显式

写成矩阵形式$w{j+1} = Aw{j} + s_j$

$$\left[\begin{array}{c} w_{1, j+1} \\ \vdots \\ w_{m, j+1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc} 1-2 \sigma & \sigma & 0 & \cdots & 0 \\ \sigma & 1-2 \sigma & \sigma & \ddots & \vdots \\ 0 & \sigma & 1-2 \sigma & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \sigma \\ 0 & \cdots & 0 & \sigma & 1-2 \sigma \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} w_{1 j} \\ \vdots \\ w_{m j} \end{array}\right]+\sigma\left[\begin{array}{c} w_{0, j} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ w_{m+1, j} \end{array}\right]$$

显式具有不稳定性，误差容易爆炸

隐式

使用Backward来计算导数可以得到

$$-\sigma w_{i+1,j}-\sigma w_{i-1,j}+(1+2\sigma)w_{i,j}= w_{i,j-1}$$ $$\left[ \begin{array} { c c c c c } { 1 + 2 \sigma } & { - \sigma } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { - \sigma } & { 1 + 2 \sigma } & { - \sigma } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { - \sigma } & { 1 + 2 \sigma } & { \ddots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { - \sigma } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - \sigma } & { 1 + 2 \sigma } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { w _ { 1 j } } \\ { \vdots } \\ { w _ { m j } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { w _ { 1 , j - 1 } } \\ { \vdots } \\ { w _ { m , j - 1 } } \end{array} \right] + \sigma \left[ \begin{array} { c } { w _ { 0 j } } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \\ { w _ { m + 1 , j } } \end{array} \right]$$

$$

力矩

对某一轴来说在轴上任取一点与力的作用点连线，矢量为$r$

则力矩在这个轴上投影为

$$M_s(F)=(\vec r\times \vec F)\cdot\vec s$$

利用混合积可以写成

$$\begin{vmatrix} s_x&s_y & s_z\\ r_x&r_y & r_z \\ F_x&F_y & F_z \end{vmatrix}$$

力偶

大小相等方向相反且不共线的力系称为力偶

其方向可以由右手螺旋来判定，大小有

$$M=d\times F$$

力偶是自由矢量可以进行平移

注意力偶只能与力偶平衡

力系的简化

平移定理

为了抵消旋转效果我们加上一个力偶就可以等效

$$M_B=Fd$$

从而我们可以对力系进行简化，选取简化中心

将所有的力平移到简化中心，有

$$F_R'=\sum_iF_i\\ M_O=\sum_iM_O(F_i)=\sum_ir_i\times F_i$$

其中分别称为主矢和主矩

力系向一点简化

将力偶分解成平行与力方向和垂直力方向的两个力偶

其中垂直于力方向的可以通过力的平移来抵消

$$d=\frac{M_{O}\sin\theta}{F_R}$$

如果用右手定则判断方向与力的方向相同则为右螺旋

力系的平衡

对于平面力系有一般方程

$$\begin{cases} \sum F_x=0\\\sum F_y=0\\M_O(F)=0\end{cases}$$

同理对于空间

$$\begin{cases} \sum F_x=0\\\sum F_y=0\\\sum F_z=0\\\sum M_x=0\\\sum M_y=0\\\sum M_z=0\end{cases}$$