基本概念

傅里叶定律

$q=-\lambda\text{grad} t=-\lambda\frac{\partial t} {\partial n}n$

导热热流密度的大小与温度梯度的绝对值成正比其方向与温度梯度的方向相反

从而可以导出热导率

$\lambda=\frac{q}{|\text{grad}t |}$

导热微分方程

假设热导率为常数

${\partial t\over \partial \tau} = \frac\lambda{\rho c}\left({\partial^2 u\over \partial x^2 } + {\partial^2 u\over \partial y^2 } + {\partial^2 u\over \partial z^2 }\right)+\frac{\dot{\Phi}}{\rho c}$

$\Phi$为内热源强度，定义热扩散率，也称导温系数

$a=\frac\lambda{\rho c}$

边界条件

第一类

边界温度为常数，为恒壁温边界条件

$t_w=\text{Const}$

第二类

给定法线方向的温度变化率，为恒热流边界条件

$\frac{\partial t} {\partial n}=-\frac{q_w}{\lambda}$

若$q_w=0$则为绝热条件

第三类

给出传热系数$h$和温度$t_f$，由牛顿冷却定律和傅里叶定律，可得对流边界条件

$-\lambda\frac{\partial t} {\partial n}=h(t_w-t_f)$

热电比拟

热阻

平壁一维导热热阻

$R_\lambda=\frac{\delta}{A\lambda}$

对流换热热阻

$R_{\text{rad}}=\frac1{hA}$