信号的表示

需要把$x_o(t)$用数学的方式表达

单位阶跃信号

$u(t)=\left\{\begin{array}{l}1 \text { for } t \geq 0 \\ 0 \text { for } t<0\end{array}\right.$

单位脉冲信号

奇异函数

$\int_{-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t) d t=x(0)=1$

三角信号

$x(t)=A \cos (\omega t+\theta) \quad \quad y(t)=B \cos (\omega t+\phi)$

复指数信号

指数信号的因子是复数

$x(t)=Ke^{st}$

一个复指数信号可以分解为实部$\cos$和虚部$\sin$，满足

$\left\{ \begin{array}{l} e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin\theta\\ e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta \end{array} \right. ⇒ \left\{ \begin{array}{l} \cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\\ \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} \end{array} \right.$

借助这个关系就能方便的对正弦信号进行升维到复数域，让信号理论更加优雅，便于分析

有重要的两个参数：振幅和相位，复数相乘，模相乘辐角相加

系统的数学模型

对于单输入单输出的控制系统，我们用微分方程来描述

$\begin{align}&a_0x_o^{(n)}(t)+a_1x_o^{(n-1)}(t)+\cdots+a_nx_o(t)\\ &=b_0x_i^{(n)}(t)+b_1x_i^{(n-1)}(t)+\cdots+b_nx_i(t)\end{align}$

但解微分方程太过繁琐，引入复数后就可以用拉氏变换来简化

拉氏变换

$X(s)=L[x(t)]=\int_0^\infty x(t)e^{-st}\text{d}t$

由微分性质得到

$L\left[\frac{\text d^n x}{\text dt^n}x(t)\right]=s^nX(s)-s^{n-1}x(0^+)-\cdots-x^{(n-1)}(0^+)$

若零初始条件则有

$\frac{\text d^n x}{\text dt^n}x(t)\Leftrightarrow s^nX(s)$

这样方程就不含微分项，将微分方程变成了代数方程

性质

积分

$\int\cdots\int x(t)(\text dt)^n\Leftrightarrow \frac{X(s)}{s^n}$

时移

$L[x(t-a)]=e^{-as}X(s)\\L[e^{-at}x(t)]=X(s+a)$

初值定理

$\lim_{t\to0^+}x(t)=\lim_{s\to\infty}sX(s)$

终值定理

$\lim_{t\to \infty}x(t)=\lim_{t\to 0}sX(s)$

拉氏反变换

求解出的频域信号需要转换回时域

$f(t)$	$L[f(t)]$	$f(t)$	$L[f(t)]$
$1$	$\frac1s$	$t$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
$e^{at}$	$\frac1{s-a}$	$\sin\omega t$	$\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$
$\cos\omega t$	$\frac{s}{s^2+\omega^2}$	$te^{-at}$	$\frac1{(s+a)^2}$

由分解定理，一般常见的有理分式

$X(s)=\frac{b_0s^m+b_1s^{m-1}+\cdots +b_m}{s^n+a_1s^{n-1}+\cdots +a_n}$

可以分解为不同单极点$(e^{-at})$的形式，和共轭复数极点$(\sin/ \cos)$

传递函数

根据上面的分析，我们可以将系统里面常见的组件抽象成频域里面的函数

$G(s)=\frac{X_o(s)}{X_{i}(s)}$

假设系统有极点，复零点$(s^2+w^2)$，极点，复极点，则传递函数可以写成

$G(s)=\frac{\displaystyle K\prod_{i=1}^b(\tau_is+1)\prod_{l=1}^c(\tau_l^2s^2+2\zeta _l\tau_ls+1)}{\displaystyle s^v\prod_{j=1}^d(T_js+1)\prod_{k=1}^e(T_k^2s^2+2\zeta _kT_ks+1)}$

可以看出有多种环节，如比例环节

所以分母系数$s$上面次数代表为$v$阶系统

微分环节

理想微分

$x_o(t)=kx^\prime_i(t) \\G(s)=ks$

一阶微分

$\tau s+1$

二阶微分

$\tau^2 s^2+2\xi\tau s+1$

惯性环节

阻尼

$Tx^\prime_o(t)+x_o(t)=x_i(t)$

故一阶惯性为

$G(s)=\frac1{Ts+1}$

二阶振荡

$\frac1{T^2s^2+2\xi Ts+1}$