基本概念

应力应变

$\sigma=\frac F A\\ \varepsilon=\lim_{l\to 0}\frac{\Delta l }l\\ \gamma=\lim_{l\to 0}\frac{\Delta \gamma }\gamma$

胡克定律

$\sigma=E\varepsilon\\ \tau=G\gamma$

关系，泊松比$\nu$

只在一个方向有线应变有横向变形效应

$\sigma_y=-\nu\sigma_x\\G=\frac E{2(1+\nu)}$

广义胡克定律

$\varepsilon_x=\frac1E[\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)]$

特别的，对于平面应力状态，有

$\varepsilon_\theta=\frac1E[\sigma_\theta-\nu\sigma_{(\theta\pm90^\circ)}]$

许用应力

衡量材料力学性能的指标

$[\sigma]=\begin{cases}\frac{\sigma_s}{n_s}或\frac{\sigma_{0.2}}{n_s}\quad 塑性\\ \frac{\sigma_{b}}{n_b}\quad 脆性\end{cases}$

剪切

单剪

$V=F$

双剪

同时存在挤压

计算切和压只需要判断力和面积

剪切：剪力对应接触面积

挤压：压力对应正交面积

扭转

截面上的扭转

切应力

$\tau=\frac{T\rho}{I_p}$

其中$I_p$为截面的极惯性矩

对于圆

$I_p=\frac{\pi D^4}{32}$

空心

$I_p=\frac{\pi D^4}{32}\left(1-\alpha^4\right)$

对于半径处(表面)，截面系数为

$W_p=\frac{I_p}{D/2}$

单位长度扭转角

$\frac{\text d\varphi}{\text d x}=\theta=\frac{T}{GI_p}$

单位为弧度，要转角度，则

$\varphi_{AB}=\frac{Tl_{AB}}{GI_p}\times\frac{180}\pi$

安全条件

强度条件

$\tau_{\max}=\frac{T}{W_{p}}\le[\tau]$

刚度条件

$\frac{T}{GI_p}\times\frac{180}\pi\le[\theta]$

计算时画出扭矩图

弯曲

简支梁

两端分别为固定铰支座和活动铰支座

悬臂梁

一端为固定端一端为自由端

外伸梁

至少有一个铰支座不在梁端部

剪力弯矩

利用力的平衡可以得到剪力和弯矩

同时注意剪力以顺时针为正

弯矩以凹为正，同时弯矩图画在拉的那一侧(朝下)

需要标明正负

$\frac{\text dF_s}{\text d x}=q\\ \frac{\text dM}{\text d x}=F_s$

弯曲正应力

中性层为基准

$\sigma=\frac{M_z y}{I_z}$

正应力随高度呈线性变化，正比弯矩，反比于形心主惯性矩，两侧正应力一拉一压，总是同时存在

惯性矩计算

对矩形截面

$I_z=\frac{bh^3}{12}$

空心圆形

$I_z=\frac{\pi D^4}{64}(1-\alpha^4)$

同时利用对称性来计算

四矩式

切应力

$\tau=\frac{F_sS_z^*(y)}{bI_z}$

其中$S_z^*(y)$为静矩

$S_z^*(y)=S_{y}y_c$

利用形心来计算，$b$为厚度

掌握计算校核设计截面的方法，分析危险截面

梁的变形

挠度$y$，为相对的位置变化

$y'(x)=\tan\theta$

则利用微分方程得到

$EIy''=-M(x)$

进行积分，带入边界条件尽可能早的确定常数

如固定端$\theta,y=0$，铰链左右转角相等等等

利用叠加法首先将所有的载荷等效到一段

用相差一个刚体位移的方法进行计算

应力状态分析

正应力以拉为正，压为负

切应力以外法线顺时针旋转

对任意角度，有

$\sigma_\alpha=\frac{\sigma_x+\sigma_y}2+\frac{\sigma_x-\sigma_y}2\cos2\alpha-\tau_x\sin2\alpha\\ \tau_\alpha=\frac{\sigma_x-\sigma_y}2\sin2\alpha+\tau_x\cos2\alpha$

则有

$\sigma_{\theta+90^\circ}+\sigma_\theta=\sigma_x+\sigma_y$

相互垂直截面上的正应力之和为常数

主平面

$\tan2\alpha_0=-\frac{2\tau_x}{\sigma_x-\sigma_y}$

可画出应力圆求解

$(\sigma_x,\tau_x),(\sigma_y,\tau_y)$

对于切应力极值，与主平面呈45度角，此时正应力为

$\sigma_O=\frac{\sigma_x+\sigma_y}2\\ R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}2\right)^2+\tau_x^2}$

对于空间应力，$\sigma_z\ne0,\tau_z=0$

所以$z$已经是主平面，求处另外两个主应力，画在一起

为三向应力圆

强度理论

主应力按照从大到小的顺序排列后

$\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$

四个强度理论

$\sigma_{r1}=\sigma_1\\ \sigma_{r2}=\sigma_1-\nu(\sigma_2+\sigma_3)\\ \sigma_{r3}=\sigma_1-\sigma_3\\ \sigma_{\mathrm{r4}}=\sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}]}$

还有莫尔强度理论

$\sigma_{r3}=\sigma_1-\frac{[\sigma_t ]}{[\sigma_c]}\sigma_3$

特别的，对于单向

$\sigma_{\mathrm{r3}}=\sqrt{\sigma^2+4\tau^2}\\ \sigma_{\mathrm{r4}}=\sqrt{\sigma^2+3\tau^2}$

更特别的

$\sigma_{r3}=\frac{\sqrt{M^2+T^2}}{W_z}\\ \sigma_{r4}=\frac{\sqrt{M^2+0.75T^2}}{W_z}$

切应力主要为扭矩产生，正应力主要为弯矩产生

组合变形

分别在$x,y$方向上画弯矩图

计算最大应力时，分解后叠加

$\sigma_{\max}=\frac{M_{y\max}}{W_y}+\frac{M_{z\max}}{W_z}\le[\sigma]$

注意$M_y$为$F_z$产生

同理挠度也叠加

$f=\sqrt{f_x^2+f_y^2}$

偏心压缩

将心的力$F_2$等效成

$Fe+F$

转换成一个正应力和弯矩

压杆稳定性

对于不同支承条件，长度系数不同

如果两端铰支，都可以转动(角度任意变化)

或者两端固定另一端可以横向移动

$\mu=1$

若一端自由另一端固定

$\mu=2$

两端固定

$\mu=0.5$

一端固定，一端铰支

$\mu=0.7$

所以临界压力

$F_{cr}=\frac{\pi^2EI}{(\mu l)^2}$

引入柔度的概念

$\lambda=\frac{\mu l}i$

其中$i=\sqrt{\frac {I_z}{A}}$，截面对失稳弯曲时的中性轴的惯性半径

所以临界应力公式为

$\sigma_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2 E}{\lambda^2}\le \sigma_p$

则柔度需要满足

$\lambda\ge\sqrt{\frac{\pi^2E}{\sigma_p}}$

对于铸铁$\rm Q235$

$\lambda_p=100$

对于中长杆，可以使用经验公式

$\sigma_{\rm cr}=a_1-b_1\lambda$

或者

$\sigma_{\rm cr}=a_1-b_1\lambda^2$