线性方程组

含有$n$个未知量$m$个方程的线性方程组定义为

$\left.\left\{\begin{aligned}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n&=b_2\\\vdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n&=b_m\end{aligned}\right.\right.$

可以写成

$x_1\vec a_1+x_2\vec a_2+\cdots+x_n\vec a_n=\vec b$

若$\vec b=\vec 0$则为齐次线性方程组

初等行变换

$r_i\leftrightarrow r_j$
$kr_i$
$r_i+kr_j$

性质

行等价，则存在可逆矩阵$P$

$PA=P(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=B$

列等价

$AQ=B$

等价，则

$PAQ=B$

可逆的充要条件为

$A\sim E$

增广矩阵

$[A|b]=\left.\left[\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_{2}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_{m}\end{array}\right.\right]$

利用初等行变换化为阶梯型$[E|x]$

则方程组的解为

$x=A^{-1}b$

克拉默法则

$A_j$是把系数矩阵$A$中的第$j$列元素用方程组右端常数项代替后得到的$n$阶矩阵

则唯一解

$x_j=\frac{|A_j|}{|A|}=\frac{1}{|A|}(b_1A_{1j}+\cdots+b_nA_{nj})$

矩阵的秩

最高阶非零子式的阶数，又因为初等变换不改变秩

所以秩使用化阶梯型的方式计算

$x_1\vec a_1+x_2\vec a_2+\cdots+x_n\vec a_n=\vec b$

则方程组有解可以看成

$R(A|b)=R(A)$

加入$b$不改变列空间的维数

列空间和行空间的维数都是$R(A)$，列向量组和行向量组的秩都是$R$

若矩阵列$C$独立则

$Cx=0$只有零解，0的表示唯一
若$\beta_1,\cdot\cdot\cdot,\beta_s\in F^{(n)}$ ，线性无关,则 $C\beta_1,\cdot\cdot\cdot,C\beta_s$ 线性无关
$C$ 有左逆：(即有矩阵 X 使 $XC=I)$
$C T x=b$ 总有解

列满秩则有解一定唯一

行满秩则必定有解，$|A|\ne 0,Ax=0$，则只有零解

不等式

$\mathrm{rank(AB)}\leq \min\left\{\mathrm{rank(A)},\mathrm{rank(B)}\right\}$ $\mathrm{rank(A+B)\leq rank(A)+rank(B)}$ $\left.\mathrm{rank}(\mathrm{A}^*)=\left\{\begin{aligned}n.&&\mathrm{rank}(\mathrm{A})&=n\\1.&&\mathrm{rank}(\mathrm{A})&=n-1\\0.&&\mathrm{rank}(\mathrm{A})&<n-1\end{aligned}\right.\right.$ $R(AB)+n\ge R(A)+R(B)\quad\text{(Sylvester)}$

线性相关

$k_1\vec a_1+k_2\vec a_2+\cdots+k_n\vec a_n=0$

其中$k$至少一个不为$0$

注意其中一个向量为零向量的情况

最大线性无关组

该向量组本身线性无关
任取一个矩阵中的其他向量, 与该向量组合并, 都会变成线性相关的向量组

换成行阶梯型看主元列，其他为自由变量

从而最大线性无关组向量数目$r=R(\alpha_1\cdots \alpha_n)$

对于线性方程组

无解，则$b$不在$A$列空间内

$R(A)<R(A,b)$

小于空间维数则有无穷多解

$R(A)=R(A,b)<n$

向量组等价

$R(A)=R(B)=R(A,B)$

解的结构

齐次线性方程组解满足线性性质

则非齐次通解为

$x=k_1\xi_1+\cdots+k_n\xi_n+x_0$

一个特解加通解，而通解由基础解系来表达，基础解系的维数等于零空间的维数

$R(\xi_1,\cdots,\xi_n)=n-r$

齐次线性方程组同解则零空间等价，$A\sim B$

向量空间

线性变换

满足线性性质

$T(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2)=\lambda_1 T(x_1)+\lambda_2 T(x_2)$

转换坐标

$B=(b_1,\cdots,b_n),A=(a_1,\cdots,a_n)\\ B=AP\\ Py=x$

其中$y$为向量在$B$下的坐标

同理线性变化也可以用矩阵$A$表示（在$\alpha$基下）

对于不同基

$T(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)A$

则坐标

$T(\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i)=T(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\left(\begin{array}l x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\\\end{array}\right)$

矩阵$A$也可以直接把$T(\alpha_i)$用$(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$表示写成列向量即可

若同一个线性变换在不同基下分别表示为$A,B$，变换矩阵为$P$，则有

$B=P^{-1}AP$