相似矩阵

施密特正交化

$\beta_4=\alpha_4-\frac{(\beta_1,\alpha_4)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\beta_2,\alpha_4)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2-\frac{(\beta_3,\alpha_4)}{(\beta_3,\beta_3)}\beta_3$

将向量向其他基向量上进行投影并减去分量

最后再单位化即得到标准正交基

特征值和向量

$Ax=\lambda x\\ |A-\lambda E|=0$

求解行列式为零得到对应的特征方程，即可求出特征值再把特征值代入可求得特征向量

如果特征值各不相同则特征向量线性无关

若矩阵满足矩阵方程

$f(A)=0$

则它的特征向量也满足

$f(\lambda)=0$

同理

$f(A)-kE\to f(\lambda)-k$

特殊

逆矩阵的特征值为倒数，特征向量一样

伴随矩阵特征向量也一样特征值为

$Ax=\lambda x\\ \frac 1\lambda x=A^{-1}x\\ A^*x=\frac{|A|}{\lambda}x$

相似

满足

$P^{-1}AP=B$

相似矩阵的特征多项式相同特征值也相同

若$A$为对角矩阵则

$A=P^{-1}\Lambda P=\begin{bmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&...&\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}$

对称矩阵的特征值为实数，且一定可以对角化，任意两个不相等的特征值对应的特征向量一定正交

矩阵$P$可通过对特征向量组进行标准正交化得到

重数

代数重数为$(\lambda-\lambda_i)^m$，几何重数为特征向量生成线性空间的维数

几何重数$\le$代数重数

$1\le n-R(A-\lambda E)\le m$

可对角化则代数重数等于几何重数，即矩阵$P$满秩，特征向量足够

二次型

$f(x_1,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+\cdots+2a_{12}x_1x_2+\cdots$

化为对称矩阵来表示

$\left.X=\left(\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{array}\right.\right),A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\&\cdots&\cdots&\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix},a_{ij}=a_{ji},$

可逆变换

$x=Cy$ $f=x^TAx=y^T(C^TAC)y$

则如果有可逆矩阵，使得

$B=C^TAC$

则合同

标准型

只有平方项

$f=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$

正交变化则和化对角一样

$P^T=P^{-1}$

正定

实对称矩阵$AB=BA=(AB)^T$才讨论正定

二次型恒大于0，正特征值的个数就是正惯性指数，则正定为

正惯性指数$p=n$
n个$\lambda>0$
A合同与$E\quad(f=y^Ty)$

推论

看$\lambda$正负

$A+B$正定，$BAB$正定，$A^{-1},A^*,A^m,kA$正定

若$AB=BA$则

$AB,BA正定$

结论

只有对称矩阵，相似一定合同(因为正交相似)

对称矩阵可对角化，代数重数=几何重数则可对角化

等价$\Leftrightarrow$秩相等

$A\Leftrightarrow B$则对应的齐次线性方程组同解

$R(A)=R(AA^T)$

像空间的维数用矩阵表示的秩$r$来算

核空间的维数$n-r$

秩一矩阵，各行成比例，则$A=\alpha\beta^T$

则唯一非零秩为$\text{tr}(A)=\beta^T\alpha$

可对角化则$\beta^T\alpha\ne0$