对于阴极射线的研究发现

$F=q\vec E+q\vec v\times \vec B$

洛伦兹力

同上式

$F=qvB\sin\theta$

从而可以得到磁感应强度

$B=\frac{F_\text{max}}{q_0v}$

同电场可以定义磁感应线

经典结论

$R=\frac{mv}{Bq} \\T=\frac{2\pi m}{qB}$

对于与磁场方向成一定角度的运动，螺距$h$

$h=v_{\parallel}T=\frac{2\pi mv_0\cos\theta}{qB}$

电流

$I=\frac{\text dq}{\text dt}=nqSv$

引入电流强度

$\vec j=nq\vec v$

从而电流可以表示成通过个面积元电流的积分电流得到

$I=\int_Sj\text dS$

安培力

$\text dF=nS\text dl(qv_d\times B)\\ F=\int_LI\text dl\times B$

对于直导线

$F=BIL\sin \theta$

对于两平行直导线

$\frac{\text d F_{21}}{\text dl_1}=\frac{\text d F_{21}}{\text dl_1}=\frac {\mu_0 I_1I_2}{2\pi d}$

磁力偶矩

$M=\vec m\times \vec B\\ m=NIS\vec e$

磁场力做功

$W=\int_II\text d\Phi$

毕奥萨伐尔定律

对于电流元$I\text dl$，定律告诉我们

$\text dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\vec I\text dl\times \vec r}{r^3}$

$\mu_0$为真空磁导率

应用

常见的磁场

导线

$B=\frac{\mu_0I}{4\pi a}(\cos \theta_1-\cos \theta_2)$

无限长

$B=\frac{\mu_0I}{2\pi a}$

$B=\frac{\mu_0}2\frac{IR^2}{(R^2+x^2)^{3/2}}$

对于$x=0$处

$B=\frac{\mu_0I}{2 a}$

若远离

$B=\frac{\mu_0IS}{2\pi x^3},S=\pi R^2$

引入磁矩

$m=ISe_n$

这就是磁偶极磁场

运动电荷，有

$B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{qv\times e_r}{r^2}$

高斯定理

磁场的散度为零

$\text{div}B=0$

所以有

$\oint_SB\cdot\text dS=0$

安培环路定理

$\oint_LB\text dl=\mu_0\sum_iI_i$

电流方向符合使用右手定则得到的绕行方向时为正

安培力

电流是由大量带电粒子定向运动而形成的，由洛伦兹力可以得到

$\text dF=I\text dl\times B\\ F_A=\int_LI\text dl\times B$

对于最基本的直线电流

$F=BIL\sin\theta$

对于两根长直导线

$\frac{\text d F}{\text dl}=\frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi d}$

磁力矩

对于线圈来说在磁场中会受力产生力矩

$M=m\times B \\m=NIS\vec{e_n}$

其中$\vec{e_n}$的方向由右手定则确定

对于法向量与磁场方向的夹角$\theta$

$\theta=0^{\circ}$线圈不受磁力偶矩的作用此时线圈处于稳定平衡状态
$\theta=90^{\circ}$线圈所受磁力偶矩最大
$\theta=180^{\circ}$线圈处于不稳定平衡状态

对安培力做功无论是平动还是转动

$W=I\Delta\Phi_m=\int_{\Phi_m}I\text d\Phi_m$

磁介质

类比电介质我们引入磁介质和相对磁导率

戒指内部任意点的磁场强度$B$可表示为外磁场$B_0$和附加磁场$B’$的矢量和

$B=B_0+B'=\mu_rB_0$

$\mu_r>>1$铁磁性磁场被大大增强
$\mu_r>1$顺磁性磁场被加强
$\mu_r<1$ 抗磁性磁场被削弱
$\mu_r=0$完全抗磁性磁场被抵消

为了描述磁介质的被磁化强度，我们引入磁化强度

$M=\frac{\sum m_i}{\Delta V}$

在宏观上石戒指可在表面形成等效环形电流称为磁化电流

类比$P_n=\sigma$

$M=j_s=\frac{I_s}{L}$

$j_s$称为磁化面电流线密度，故对于安培定理

$\oint_LB\text dl=\mu_0\sum_iI_i+\oint_LM\cdot\text dl\\ \oint_L\left(\frac{B}{\ \mu_0}-M\right)\text dl=\sum_iI_i$

定义$H$ 为磁场强度

$H=\left(\frac{B}{\ \mu_0}-M\right)$

对于各向同性的均匀磁介质

$M=\chi _mH\\ B=\mu_0(1+\chi _m)H=\mu_0\mu_rH=\mu H$

其中$\chi _m$为磁化率，$\mu_r$称为相对磁导率，$\mu$为磁导率

引入位移电流

$\oint_LH\text dl=I_c+\int_S\frac{\partial D}{\partial t}\cdot\text dS$

这就是全电流的安培环路定理二分，位移电流同磁化电流没有热效应

电磁感应

$\mathscr{E}_i=-\frac{\text d\Phi}{\text dt}\\ \Psi =N\Phi \\ q=\frac1R(\Psi_1-\Psi _2)$

对$\Phi$求导得到两个分量

$\mathscr{E}_i=\int_L(v\times B)\cdot \text dl-\int_S\frac{\partial B}{\partial t}\cdot\text dS$

分别为动生和感生电动势

$\mathscr{E}_{感}=\oint_LE_k\cdot\text dl=-\frac{\text d\Phi}{\text dt}$

自感

$\Psi =N\Phi=LI\\ \mathscr{E}_{L}=-L\frac{\text dI}{\text dt}$

互感

$\Psi _{21}=M_{21}I_1\\ \Psi _{12}=M_{12}I_2\\ M=M_{12}=M_{21}\\ \mathscr{E}_{12}=-M\frac{\text dI_2}{\text dt}\\ \mathscr{E}_{21}=-M\frac{\text dI_1}{\text dt}$

自感$L$和互感$M$单位都为亨利

一般的

$M=k\sqrt{L_1L_2}\quad(k\le1)$

能量

$W_m=\int_V\frac12\frac{B^2}{\mu}\text dV$

所以有能量密度

$w_m=\frac12\frac{B^2}{\mu}=\frac12BH$

对于自感，有

$W_m=\frac12LI^2$