大一/理论力学/力系

力矩

对某一轴来说在轴上任取一点与力的作用点连线，矢量为$r$

则力矩在这个轴上投影为

$$M_s(F)=(\vec r\times \vec F)\cdot\vec s$$

利用混合积可以写成

$$\begin{vmatrix} s_x&s_y & s_z\\ r_x&r_y & r_z \\ F_x&F_y & F_z \end{vmatrix}$$

力偶

大小相等方向相反且不共线的力系称为力偶

其方向可以由右手螺旋来判定，大小有

$$M=d\times F$$

力偶是自由矢量可以进行平移

注意力偶只能与力偶平衡

力系的简化

平移定理

为了抵消旋转效果我们加上一个力偶就可以等效

$$M_B=Fd$$

从而我们可以对力系进行简化，选取简化中心

将所有的力平移到简化中心，有

$$F_R'=\sum_iF_i\\ M_O=\sum_iM_O(F_i)=\sum_ir_i\times F_i$$

其中分别称为主矢和主矩

力系向一点简化

将力偶分解成平行与力方向和垂直力方向的两个力偶

其中垂直于力方向的可以通过力的平移来抵消

$$d=\frac{M_{O}\sin\theta}{F_R}$$

如果用右手定则判断方向与力的方向相同则为右螺旋

力系的平衡

对于平面力系有一般方程

$$\begin{cases} \sum F_x=0\\\sum F_y=0\\M_O(F)=0\end{cases}$$

同理对于空间

$$\begin{cases} \sum F_x=0\\\sum F_y=0\\\sum F_z=0\\\sum M_x=0\\\sum M_y=0\\\sum M_z=0\end{cases}$$