前置知识

克罗内克函数

Kronecker Delta符号

$\delta_{ij} =\{ 1,\text{if}\; i = j\;;\;0,\text{if}\; i ≠ j \}$

爱因斯坦求和约定

当式子中任何一个指标出现了==两次==，那么该式表示的实际上是对这个角标一切可能值的求和，如

$C_{ij}=A_{ik}B_{kj}$

$k$出现了两次，表示对$ k $进行了求和

$\sum a_ib_i=a_ib_i$

出现两处的指标称为哑标(dummy index)，出现一次指标称为自由指标(特指)

对于上下标需要一起算

$a_i^i=\sum a_i^i$

等式两边自由指标的数量要相同

列维-奇维塔符号

(Levi-Civita symbol)也称为epsilon符号或完全反对称符号

$\varepsilon_{ijk}=\begin{cases}1\quad ijk=123或偶次交换\\ -1\quad ijk=123经奇数次交换\\ 0 \quad 有两个指标相同 \end{cases}$

由此三阶行列式可以表示成

$\begin{vmatrix} a_1& a_2 & a_3\\ b_1& b_2 & b_3 \\ c_1& c_2 & c_3 \end{vmatrix}=\varepsilon_{ijk}a_ib_jc_k$

三维情况

$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_ib_j\\ \vec{a}\times \vec{b}=\vec{e_i}\varepsilon_{ijk}a_jb_k\\ (\vec{a}\times \vec{b})_i=\varepsilon_{ijk}a_jb_k$

函数

标量

$\varphi(\vec{x})$

矢量

$\vec{A}(\vec{x})=A_1\vec{e_1}+A_2\vec{e_2}+A_3\vec{e_3}$

算子

哈密顿算子

$\nabla=\begin{bmatrix}\frac{\partial }{\partial x_1} \frac{\partial}{\partial x_2} \cdots \frac{\partial }{\partial x_n}\end{bmatrix}=\vec{e_i}\frac{\partial }{\partial x_i}$

方向导数

$\frac{\partial u}{\partial \vec s}=\lim_{\Delta\vec s\to0}\frac{f(\vec r+\Delta\vec s)-f(\vec r)}{\Delta\vec s}$

方向导数最大为梯度方向

$\nabla u\cdot \text d \vec s=\text du$

是在$\text d \vec s$方向上的微分变化

$\nabla u$指的是梯度场

散度

对于曲面$\Sigma$，向量场的通量表示为

$\Phi=\int_\Sigma \vec A\cdot \text d\vec \sigma$

从而有

$\text{div} \vec A=\lim_{V\to 0}\frac1V\int_{\partial V}\vec A\cdot \text d\vec \sigma$

$\partial V$代表$V$的边界，散度代表单位体积的通量

$\text{div}\vec A=\nabla\cdot \vec A\\ \lim_{\Delta V\to 0}(\nabla\cdot \vec A)\cdot \Delta V=\int_{\partial (\Delta V)}\vec A\cdot \text d\vec \sigma$

两端积分得到散度定理

$\int_V(\nabla\cdot \vec A)\text d V=\int_{\partial V}\vec A\cdot \text d\vec \sigma$

说明体积内的散度为边界上的通量