复数

表示

$z=a+b\text{i}\\ a=\Re z\quad b=\Im z$ $|z|=|a+b\mathrm{i}|=\sqrt{a^2+b^2}\\\overline{z}=a-b\text{i}$

其中$\overline{z}$为共轭复数

$\Re z=\frac12(z+\overline z)\\ \Re z=\frac1{2\text i}(z-\overline z)\\$

运算定律

$(a+b\mathrm{i})\pm (c+d\mathrm{i})=(a\pm c)+(b\pm d)\mathrm{i}\\(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm{i}\\\frac{a+b\mathrm{i} }{c+d\mathrm{i} }=\frac{(a+b\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}{(c+d\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)\mathrm{i} }{c^2+d^2}$

性质

$z\overline z=|z|^2\\ \overline{z+w}=\overline z+\overline w\\ \overline{zw}=\overline z\;\overline w\\ |zw|=|z||w|\\ \left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}$

几何表示

$z = a + b\text{i} = r(\cos \theta + \text{isin}\theta ) = re^{\theta{\text i} }$

其中$\theta $称为辐角，记为$\text{Arg} z$，对于$-\pi<\theta\le\pi$

$\text{Arg} z=\text{arg}z+2k\pi,k \in \mathbf{Z}$

而$\text{arg}z$就是辐角的主值

性质

$z_{1} z_{2}=r_{1} r_{2}\left(\cos \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)+i \operatorname{isin}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)\right)\\ \text{Arg}(z_{1} z_{2})=\text{Arg}z_{1}+\text{Arg}z_{2}$

同理

$\frac{z_{1}}{z_{2}}= \frac{r_{1}}{r_{2}}\left[\cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+\operatorname{isin}\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\right]\\ \operatorname{Arg}\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=\operatorname{Arg} z_{1}-\operatorname{Arg} z_{2}$

可以看出复数乘除和旋转有关

应用于垂直，有

$\operatorname{arg}\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=\pm\frac\pi2\\ \Re\frac{z_{1}}{z_{2}}=\Re\frac{z_{1}}{z_{2}}|z_2|^2=\Re z_1\overline{z_2}=0$

同理，平行

$\operatorname{arg}\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=0/\pi\\\Im z_1\overline{z_2}=0$

棣莫弗公式

de Moivre formula

$(\cos \theta+\text{i} \sin \theta)^{n}=\cos n \theta+\text{i} \sin n \theta=(e^{\text{i} \theta})^n$

从而对于$|z|=1$

$\omega=\sqrt[n]{z},\omega^n=z\\\cos n \varphi+\text{i} \sin n \varphi=\cos \theta+\text{i} \sin \theta\\ \varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}\;(k=0,1,\cdots ,n-1)$

注意到每次加上$2\pi/n$

$\omega_n=\cos \frac{2 \pi}{n}+i \sin \frac{2 \pi}{n}\\ \sqrt[n]1=\omega_n^0,\omega_n^1,\omega_n^2\dots\omega_n^{n-1}$

这就是$n$个单位根，$\omega_n$为主$n$次单位根

不难想到可以利用这$n$个值来表示多项式