空间直角坐标系

记为$[O;\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k]$，若为右手系，则有

$\boldsymbol i\times \boldsymbol j=\boldsymbol k$

坐标表示

$xOy$面从上面和从下面看，分为八个卦限
任意向量可以分解为

$\boldsymbol r=x\boldsymbol i+y\boldsymbol j+z\boldsymbol k\\ \boldsymbol r=(x,y,z)$

定比分点

$\vec{AM}=\lambda\vec{MB}\\ \vec{OM}=\left(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda},\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda}\right)$

方向角

$|\vec{OM}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \cos\alpha=\frac{x}{|\vec{OM}|},(\alpha\to x)\\\beta\to y,\gamma\to z$

分别为方向角和方向余弦

$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$

具体应用

直线

$\vec{OR}=\vec{OA}+t\vec{AR}\quad(t\in \mathbf{R})\\ \mathbf p=f(t)$

射线$t\ge 0$，线段$t\in[0,1]$

$f(x,y)=Ax+By+C=0$

$(A,-B)/(-A,B)$为方向向量

平面直线的两点式

$(y_0-y_1)x+(x_1-x_0)y+x_0y_1-x_1y_0=0$

从而$(a,b)$到直线的距离为

$\text{signed distance}=\frac{f(a,b)}{\sqrt{A^2+B^2}}$

三维空间中的直线的坐标表示为

$(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+vt\\ \frac{x-x_0}{v_1}=\frac{y-y_0}{v_2}=\frac{z-z_0}{v_3}$

同理可以用两个平面的交线来表示

$\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$

这就是平面的一般方程

点乘

平面

点在平面的哪

$s=\vec{CP}\cdot \boldsymbol n=0$

$s>0$在平面上，反之在平面下(先定义方向向量)

考虑直线和平面的夹角

$\sin \theta=|\cos <\mathbf s,\mathbf n>|$

平面的点法式方程

$A(x-x_c)+B(y-y_c)+C(z-z_c)=0\\ f(x,y)=Ax+By+C$

截距式方程

$\frac xa+\frac yb+\frac zc=1x$

距离

$\text{distance}=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

投影

$\text{Prj}_{\vec{OM}}\vec{OA}=\frac{\vec{OM}\cdot \vec{OA}}{|\vec{OM}|}$

结果为一个数，有正负

$s=(\boldsymbol q-\boldsymbol o)^T\overline{\boldsymbol v}$

叉乘

平行共线

$\vec{a} \times \vec{b}=\vec{0}$

则$\sin \theta=0$，同向或反向

面积

$S=\frac12||(\boldsymbol{x_1-x_0})\times(\boldsymbol{x_2-x_0})||\\ \boldsymbol{n}=\boldsymbol{x_{10}}\times\boldsymbol{x_{20}}/||\boldsymbol{x_{10}}\times\boldsymbol{x_{20}}||$

拓扑关系很重要，否则法向量相反

是否在三角形内

$\vec{PA}\times\vec{PB},\vec{PB}\times\vec{PC},\vec{PC}\times\vec{PA}$

三个值同号，一半为三个三角形的有向面积

混合积

$\begin{array}{l} V&=\frac{1}{3} h A=\frac16\mathbf{x}_{10}\times \mathbf{x}_{20}\cdot\mathbf{x}_{30}\\ &=\frac{1}{6}\left|\begin{array}{cccc} \mathbf{x}_{1} & \mathbf{x}_{2} & \mathbf{x}_{3} & \mathbf{x}_{0} \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right| \\ \end{array}$

$\mathbf{x}_{3} $在平面以上则为正体积

体积为$0$则说明$\mathbf{x}_{3} $在平面上

曲面

用三元函数来表示

$f(x,y,z)=0$

这种表示可以非常方便地判断一个点是否在面上

一般使用向量来表示

$\mathbf p=(x,y,z)\\ f(\mathbf p)=0$

类比定义梯度

$\mathbf n=\nabla f(\mathbf p)=\left(\frac{\partial f(\mathbf p)}{\partial x},\frac{\partial f(\mathbf p)}{\partial y},\frac{\partial f(\mathbf p)}{\partial z}\right)$

切平面

$(\mathbf p-\mathbf a)((\mathbf a-\mathbf b)\times(\mathbf a-\mathbf c))=0$

球面

$f(\mathbf p)=(\mathbf p-\mathbf c)^2-r^2=0$

旋转曲面

绕哪个轴旋转哪个不变

例如母线在$yOz$上，则绕$y$轴旋转的方程为

$f(y,\pm\sqrt{x^2+z^2})$

若要还原母线则关键看$x^2+z^2$

柱面

平面曲线叫做准线，直线叫做母线

对于二维$f(x,y)=0$表示平面曲线

而对于三维空间表示柱面

二次曲面

椭球面由椭圆旋转而来

利用截横法有椭圆锥面(两个圆锥)

根据旋转轴的不同有单叶和双叶双曲面

椭圆抛物面是抛物线旋转后伸缩得到的

双曲抛物面(马鞍面)

Near the origin, the surface is shaped like a saddle or mountain pass. To a person traveling along the surface in the yz-plane the origin looks like a minimum. To a person traveling in the xz-plane the origin looks like a maximum. Such a point is called a saddle point of a surface

三维曲线

回顾三维直线，消去参数$t$之后可以得到$2$个方程

其实这2个方程表示了2个平面，空间的直线就是这2个平面的交线

从而我们可以引入空间曲线的参数表达式

$\begin{cases}f(\mathbf p)=0\\g(\mathbf p)=0\end{cases}$

==点动成线，线动成面，面动成体==

参数方程

由方程表达的曲线和面难以计算

所以我们一般采用参数方程来绘制

对于平面曲线

$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f(t)\\g(t)\end{bmatrix}$

同理，空间曲线

$\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f(t)\\g(t)\\h(t)\end{bmatrix}$

如螺线(spiral)

$\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos t\\\sin t\\t\end{bmatrix}$

三维参数曲面

$f:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^3\\ (u,v)\to(x,y,z)$

如

$f(u,v)=((2+\cos u)\cos v,(2+\cos u)\sin v,\sin u)$

球坐标

Sph_1

$\begin{cases} x = r\sin \theta \cos \phi \\ y = r\sin \theta \sin \phi \\ z = r\cos \theta \end{cases}$ $\left\{\begin{aligned} r &= \sqrt {x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta &= \operatorname{Arctan} \left(\sqrt{x^2 + y^2}, z \right) \\ \phi &= \operatorname{Arctan} (y, x)\end{aligned}\right.$

类似经度和纬度

映射

$f:R^n\to R^m$

对于$n<m$，为低维到高维的映射，本征维度为$n$

$m<n$，降维映射，一般会损失数据

取一小段可以看到仍为本征维度