概念

微分方程是一种方程，它涉及对一个函数的变化率的描述。它通常表示为一个包含未知函数及其一阶或多阶导数的方程，例如：

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + y = x$

其最高阶导数的阶数为微分方程的阶数

其通解含有和阶数数目相同的相互独立的常数

通解

对于特定类型的微分方程，可以找到一个通用的解决方案

例如，对于常见的一阶线性微分方程，通解可以表示为：

$y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$

其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数，$r_1$和$r_2$是方程的特征根。通过对方程进行求解，可以确定 $r_1$ 和 $r_2$ 的值

特解

微分方程需要满足特定的初值条件$\text{IVP(Initial Value Problem)}$

利用这些条件可以方便求出常数的值

可分离变量

这类方程的一般形式为：

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = f(x)g(y)\Rightarrow\\ f(x)\text{d}x=h(y)\text{d}y$

其中 $f(x)$ 和 $g(y)$ 是两个函数。可以看出，在这类方程中，变量 $x$ 和 $y$ 可以分开，因此称为可分离变量的微分方程。

对两端积分，并带入初值条件便可以求解

对于其他方程，利用换元的方式可以化成这种类型

一般的

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f\left(\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}\right)$

若

$\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}$

化为

$f\left(\frac{ax+by+c}{\lambda(ax+by)+c_1}\right)$

作换元

$u=ax+by$

一阶线性

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} +P(x)y=Q(x)$

若$Q(x)\equiv 0$则为齐次，容易得到

$y=C\cdot \exp \left( -\int P(x)\text{d}x \right)$

将$C$换为$u(x)$(常数变易法)，容易得到

$u(x)=\int Q(x)\exp\left( \int P(x)\text{d}x \right)\text{d}x +C$

从而通解为

$y=e^{-\int P(x)\text{d}x}\left(\int Q(x)e^{ \int P(x)\text{d}x} \text{d}x +C\right)$

也可以同时乘上积分因子

$\text{integrating factor} = e^{ \int P(x)\text{d}x}$

齐次方程

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} =\varphi(\frac y x)$

我们可以作变量代换

$u=\frac yx$

从而化为一般微分方程

对于

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}(\frac{a}{a_1}\ne\frac{b}{b_1})$

用平移的方式可以化为齐次型

$\begin{cases}x=X+h\\y=Y+k\end{cases}$

伯努利方程

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} +P(x)y=Q(x)y^\alpha\\ y^{-\alpha}\frac{\text{d}y}{\text{d}x} +P(x)y^{1-\alpha}=Q(x)$

从而令$u=y^{1-\alpha}$化为一阶线性求解

可降阶的二阶

y’’=f(x)

只需不断积分即可，注意任意常数

上述解法可以推广到

$y^{(n)}=f(x)$

y’’=f(x,y’)

使用换元法将$y’$设为$p$，利用

$y''=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(y')=\frac{\text{d}p}{\text{d}x}$

化为一阶线性微分方程，求出后再进行积分即可

y’’=f(y,y’)

同样使用换元法将$y’$设为$p$，利用

$y''=\frac{\text{d}p}{\text{d}x}=\frac{\text{d}p}{\text{d}y}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}$

化为

$p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}=f(p,y)$

二阶线性微分方程

$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} +P(x)\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + Q(x)y = f(x)$

$f(x)$为$0$则为齐次方程

$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$

为方程的通解($y_1,y_2$线性无关)

线性相关

$k_{1} y_{1}(x)+k_{2} y_{2}(x)+\cdots+k_{n} y_{n}(x) \equiv 0$

其中$k_i$不全为$0$，则在区间上线性相关

两个非零函数

$y_1:y_2=C(\ne0)$

常数变易

$y=C u(x) \to y=v(x)u(x)$

齐次

$y''+py'+qy=0$

$\Delta>0$

$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$

$\Delta=0,r=-\frac p2$

$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$

$\Delta<0,r=a\pm b\mathbf i $

$y=e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\sin bx)$

非齐次

$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^*(x)$

$y^*(x)$为非齐次的特解

形式1

$y''+py'+qy=f(x)\\ f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$

$\lambda$为不为特征方程的根

特解为
$Q_m(x)e^{\lambda x}$
$\lambda$为为特征方程的单根
$xQ_m(x)e^{\lambda x}$
$\lambda$为为特征方程的重根
$x^2Q_m(x)e^{\lambda x}$

形式2

$y''+py'+qy=f(x)\\ f(x)=[P_l(x)\cos\omega x+P_n(x)\cos\omega x]e^{\lambda x}$

特解为

$y^*=x^ke^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos\omega x+R_m^{(2)}(x)\cos\omega x]\\ m=\max\{l,n\}$

其中$k$按照$x=\lambda +\text{i}\omega$是否为特征方程的根等取$0,1$

解的叠加

右端的函数可以拆分后分别求特解再叠加

欧拉方程

$x^3y'''+3x^2y''-2xy'+2y=0$

令$x=e^t$

$D=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\\ x^ny^{(n)}=D(D-1)\cdots(D-n+1)y$

其中$D^n$称为$n$阶微分算子