原函数和不定积分

$\text{d}F(x)=F'(x)\text{d}x=f(x)\text{d}x$

原函数

若函数在区间$I$上连续，一定有原函数

显然这只是一个充分条件

反例有$x^2\sin \frac1x$，同时$e^{x^2}$的原函数不为初等函数

$[F(x)+C]'=f(x)$

不定积分

带有任意常数项的原函数为不定积分

$F(x)+\boxed{C}=\int f(x)\text{d}x$

其中$x$为积分变量，$\displaystyle \int$为积分号，$f(x)$为被积函数

$f(x)\text{d}x$为被积表达式

第一类换元法

$\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\text{d}x=\int f(\varphi(x))\text{d}\varphi(x)=\left. \int f(u)\text{d}u\right|_{u=\varphi(x)}$

凑微分法，将表达式中的一个式子换元为$t$

$\text{d}x=\frac1a\text{d}(ax) \\ x\text{d}x=\frac12\text{d}x^2$

根式有理函数

用于升高次数

$R(x,\sqrt[m]{ax+b},\sqrt[n]{ax+b})\rightarrow t=\sqrt[mn]{ax+b}\\ R(x,\sqrt[n]\frac{ax+b}{cx+d})\rightarrow t=\sqrt[n]\frac{ax+b}{cx+d}$

欧拉代换

$\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\text dx$ $a>0\rightarrow\sqrt{ax^2+bx+c}=t\pm \sqrt{a}x\\ c>0\rightarrow\sqrt{ax^2+bx+c}=xt\pm \sqrt{c}\\ \Delta>0\rightarrow \sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-\alpha)$

组合积分法

$分子=A分母+B分母'$

第二类换元法

$x=\varphi(t)\\ \int f(x)\text{d}x=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\text{d}x$

类似于参数方程，用于化简表达式

常用代换

$\sqrt{a^2-x^2}\rightarrow x=a\sin t\rightarrow a\cos t \\\sqrt{a^2+x^2}\rightarrow x=a\tan t\rightarrow a\sec t\\ \sqrt{x^2-a^2}\rightarrow x=a\sec t\rightarrow a\tan t$

熟练运用半角公式，倍角公式，积化和差

万能代换

$t=\tan \frac x2\\ \sin x=\frac{2t}{1+t^2}\\ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ \tan x=\frac{2t}{1-t^2}$

分部积分法

$\int uv'\text{d}x=uv-\int vu'\text{d}x\\ \int u\text{d}v=uv-\int v\text{d}u$

反对幂三指$=u$

表格法

v2-d973f58ff2f40755701eafa41902b221_r

上方为$u$下方为$v$，上方求导下方积分

分部积分的$\displaystyle\int v\text{d}u$部分可保留后续可消去

对于反三角函数或$\ln^2(x)$我们令$\text{d}x=\text{d}v$

积分的递推公式

我们可以通过分部积分来获得递推关系

$I_n=\int\tan^nx\text{d}x \\ I_{n}=\frac{1}{n-1} \tan ^{n-1}(x)-I_{n-2}$ $I_n=\int\cos^nx\text{d}x\\ I_{n}=\frac{n-1}nI_{n-2}$

有理函数的积分

利用多项式除法，总可以将一个假分式改写成一个多项式和一个真分式之和

对于真分式，讨论分母

如果分母中有因式$(x-a)^k$

$\frac{A_{1}}{(x-a)^{k}}+\frac{A_{2}}{(x-a)^{k-1}}+\cdots+\frac{A_{k}}{x-a}$

如果分母中有因式$(x^2+px+q)^k$

$\frac{M_{1} x+N_{1}}{\left(x^{2}+p x+q\right)^{k}}+\frac{M_{2} x+N_{2}}{\left(x^{2}+p x+q\right)^{k-1}}+\cdots+\frac{M_{k} x+N_{k}}{x^{2}+p x+q}$

具体计算时使用极限法和特殊值带入法

$\frac{x^{2}}{(x-1)^{3}(x+1)}=\frac{(1+y)^{2}}{y^{3}(2+y)}=\frac{1+2 y+y^{2}}{y^{3}(2+y)}$

例

$\int \frac{x^{5}-7 x^{4}+19 x^{3}-10 x^{2}-19 x+18}{x^{4}-5 x^{3}+9 x^{2}} \text {d}x$

$\begin{aligned} \text{LHS}&=\int\left(x-2+\frac{8 x^{2}-19 x+18}{x^{4}-5 x^{3}+9 x^{2}}\right) \text {d}x\\ &=\int\left(x-2-\frac8{x^2}+\frac{21x-54}{x^{4}-5 x^{3}+9 x^{2}}\right) \text {d}x\\ \end{aligned}$ $\frac{21x-54}{x^2(x^{2}-5 x+9 )}=\frac Cx +\frac D{x^2}+\frac{Ax+B}{x^{2}-5 x+9 }\\ \begin{aligned} &1.\times x^2,x\to0,D=-6\\ &2.\times x,x\to \infty,A=-C\\ &3.x=1,5C+5D+A+B=-33\\ &4.x=-1,15D-15C+B-A=-75\\ \end{aligned}\\ \Rightarrow\begin{cases} A=1\\ B=1\\C=-1\\D=-6 \end{cases}\\ \begin{aligned} \int\frac{21x-54}{x^{4}-5 x^{3}+9 x^{2}}\text {d}x=\int\left(\frac{x+1}{x^{2}-5 x+9}-\frac 1x -\frac 6{x^2}\right)\text{d}x \end{aligned}\\ \frac{x+1}{x^{2}-5 x+9}=\frac12\left(\frac{2x-5+7}{x^{2}-5 x+9}\right)$ $\int\frac{x+1}{x^{2}-5 x+9}\text{d}x=\frac12\left(\int\frac{\text{d}(x^{2}-5 x+9)}{x^{2}-5 x+9}+\int\frac{7\text{d}{\left(x-\frac52\right)}}{\left(x-\frac52\right)^2+\frac{11}4}\right)$

所以答案为

$\frac{x^{2}}{2}-2 x-\frac{2}{x}-\ln |x|+\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}-5 x+9\right)+\frac{7}{\sqrt{11}} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-5}{\sqrt{11}}\right)+C$

解题细节

先需要写出微分关系
步骤无需太细微，在草稿纸上完成
结果一定要用$x$来表示
不定积分一定需要加常数$C$

定积分

定义

$\int_{a}^{b} f(x) \text{d} x=\lim _{\text {mesh } \rightarrow 0} \sum_{j=1}^{n} f\left(\xi_{j}\right)\left(x_{j}-x_{j-1}\right)\\ a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b,\\ \xi_j\in[x_{j-1},x_{j}]$

特别的，若对于$[0,1]$上的积分，有

$\int_0^1f(x)\text{d} x=\lim _{n \rightarrow +\infty} \sum_{j=1}^{n} f\left(\frac{j}n\right)\frac1n$

此公式常用于求极限

定积分的几何意义是图线围成的有向面积$(\text{signed area})$

连续必可积，若有界且只有有限个间断点也可积

性质

$\int_{b}^{a} f(x) \text{d} x=-\int_{a}^{b} f(x) \text{d}x\\$

交换上下限，结果相反

$\int_{a}^{b} f(x) \text{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \text{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \text{d} x$

定积分的可加性

$\int_a^af(x)\text{d}x=0$

一条线的面积为$0$

$\int_{a}^{b}(\lambda f(x)+\mu g(x)) \text{d} x=\lambda\int_{a}^{b} f(x) \text{d} x+\mu\int_{a}^{b} g(x) \text{d} x$

定积分的线性性质

$S=\int_{a}^{b}| f(x)- g(x)| \text{d} x$

$f(x)$和$g(x)$之间围成的面积

$f(x)\le g(x)(x\in[a,b])\Rightarrow \int_{b}^{a} f(x) \text{d} x\le\int_{a}^{b} g(x) \text{d}x\\$

定积分的估值定理

$m\le f(x)\le M(x\in[a,b])\Rightarrow\\ m(b-a)\le\int_{b}^{a} f(x) \text{d} x\le M(b-a)$

积分中值定理

$\exists \xi\in(a,b )\quad \text{s.t.}\quad \int_{b}^{a} f(x) \text{d} x=f(\xi)(b-a)$

保号性

$\text{if} \quad f(x)\ge0,\exists\xi\in[a,b],f(\xi)\ne0\\ \Rightarrow\int_{b}^{a} f(x) \text{d} x>0$

绝对值不等式

$\left|\int_{b}^{a} f(x) \text{d} x\right|\le\int_{b}^{a} |f(x)| \text{d} x(a<b)$

第一基本定理

$f\in C[a,b]\\ F(x)=\int_{x}^{a} f(t) \text{d} t$

则函数$F(x)$可导且满足

$F'(x)=f(x)$

我们称$F(x)$为积分上限函数(原函数中的一个)

第二基本定理

$\text{Newton-Leibniz formula} \\ \int_a^bf(x)\mathrm dx =\left[F(x)\right]^b_a=F(b)-F(a)$

这个公式给出了定积分的一般计算方法，具有普遍意义

由此我们知道定积分和不定积分有着密切联系

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}F(x)=f(x)\Leftrightarrow\int f(x)\text{d}x=F(x)+C$

从而推知分部积分和换元积分在定积分中都可以使用

特殊性质

奇函数

$f(x)=-f(-x)\Rightarrow\\ \int_{-a}^af(x)\mathrm dx=0$

奇函数在对称区间上的积分为$0$

偶函数

$f(x)=f(-x)\Rightarrow\\ \int_{-a}^af(x)\mathrm dx=2\int_{0}^af(x)\mathrm dx$

三角函数

$\int_{0}^{\frac\pi2}\sin x\mathrm dx=\int_{0}^{\frac\pi2}\cos x\mathrm dx=1$ $\int_{0}^{\frac\pi2}f(\sin x)\mathrm dx=\int_{0}^{\frac\pi2}f(\cos x)\mathrm dx$ $\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)\mathrm dx=\pi\int_{0}^{\frac\pi2}f(\sin x)\mathrm dx=\frac\pi2\int_{0}^{\pi}f(\sin x)\mathrm dx$ $\int_{0}^{\frac\pi2}\sin^n x\mathrm dx=\int_{0}^{\frac\pi2}\cos^n x\mathrm dx\\=\begin{cases}\frac{(n-1)\cdot (n-3)\cdots3\cdot1}{n(n-2)\cdots4\cdot2}\times\frac\pi2,n=2k\\ \frac{(n-1)\cdot (n-3)\cdots4\cdot2}{n(n-2)\cdots5\cdot3}\times1,n=2k+1 \end{cases}$

周期函数

$\int_{a}^{a+T}f(x)\mathrm dx=\int_{0}^Tf(x)\mathrm dx$

积分值和$a$的选取无关

区间再现公式

$\int_a^bf(x)\text{d}x=\int_a^bf(a+b-x)\text{d}x$

积分对称原理

若$f(x) $关于$\frac{a+b}{2}$对称，根据区间再现公式

$\int_{a}^{b} x f(x) \text{d} x=\frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) \text{d} x$

Gamma

$\Gamma(z)=\int^{\infty}_{0}e^{-t}t^{z-1} \,\mathrm{d}{t}$

分部积分得

$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$

对于正整数

$\Gamma(n)=(n-1)!$

特别的，对于$x\in(0,1)$

$\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin \pi x} \\ \Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}\\ \int_0^{+\infty}e^{-x^2/2}\text{d}x=\sqrt{2\pi}$

反常积分

无界区间

积分区间无限或被积函数被积函数无界的积分，称为反常积分

$\lim_{b\to +\infty}\int_a^bf(x)\text{d}x$

存在，则称反常积分

$\int_a^{+\infty}f(x)\text{d}x$

收敛，同理

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\text{d}x=\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x+\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$

只有两个积分都收敛则原积分收敛

无界函数

$f(x)$在$x=b$的左邻域无界，$\forall \eta\in(0,b-a)$，$f(x)$在$[a,a+\eta]$可积有界

$\exists \lim_{\eta\to0^+}\int_a ^{b-\eta}f(x)\text{d}x=\int_a ^{b}f(x)\text{d}x$

则称反常积分收敛，否则为发散

求积分

$\int_a^{+\infty}f(x)\text{d}x=\left[F(x)\right]^{+\infty}_a=\lim_{x\to +\infty}F(x)-F(a)$

这种方式不仅可以判定散敛性还可以求出值

p积分

$\int_1^{+\infty}\frac1{x^p}\text{d}x$

当$p>1$时积分收敛，$p\le1$

在$[0,1]$上正好相反