洛伦兹变换

在惯性系$S$和$S’$中质点$P$的时空坐标分别为$(x,y,z,t)$和$(x’,y’,z’,t’)$

注意，$S’$不是固定于$P$而是以一定速度运动

则有洛伦兹变换式

$\begin{cases}\displaystyle x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\ y'=y\\ z'=z \\ \displaystyle t'=\frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \end{cases}$

逆变换为

$\begin{cases}\displaystyle x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\ y=y'\\ z=z' \\ \displaystyle t=\frac{t'+vx'/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \end{cases}$

速度变换

$u_x'=\frac{u_x-v}{1-\frac{u_x v}{c^2}}\\ u_y'=\frac{u_y\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-\frac{u_x v}{c^2}}\\ u_z'=\frac{u_z\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-\frac{u_x v}{c^2}}$

逆变换

$u_x=\frac{u_x'+v}{1+\frac{u_x' v}{c^2}}\\ u_y=\frac{u_y'\sqrt{1-v^2/c^2}}{1+\frac{u_x' v}{c^2}}\\ u_z=\frac{u_z'\sqrt{1-v^2/c^2}}{1+\frac{u_x' v}{c^2}}$

若相对一个参考系为光速，则在另一个参考系也为光速

坐标变化量

$\Delta x'=\frac{\Delta x-v\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\ \Delta x=\frac{\Delta x'+v\Delta t’}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

时间间隔

$\Delta t=\frac{\Delta t'-v \Delta x'/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\ \Delta t'=\frac{\Delta t+v \Delta x/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

总结

首先找出哪个为$S$哪个为$S’$，求出相对速度

$u_x'=\frac{u_x-v}{1-\frac{u_x v}{c^2}}\\$

一个速度为$0$过渡为平凡情况，若都不为$0$则代公式

明确从哪个系测量$x,t$

同时同地是哪个系的，光速不变，仔细分析

动量和能量

动质量

$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\ m^2=\frac {m_0^2c^2}{c^2-v^2}$

动量

$p=\frac{m_0v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\ a=\frac F{m_0}\left(1-\frac {v^2}{c^2}\right)^{\frac32 }$

相对论动能

$E_k=mc^2-m_0c^2=(\gamma-1)m_0c^2\\ E=m_0c^2+E_k$

质能守恒定律

若为一个孤立系统，与外界没有能量交换

$\sum m_ic^2=\text{Constant}$

能量与动量的关系

$E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2\\ p=\frac{\sqrt{E^2-E_0^2}}c$

对于光子，有$E_0=0$

$p=\frac Ec$