大一/物理/刚体

刚体

定义

刚体指在力的作用下大小和形状都不发生变化的物体

其有两种运动

• 平动：其上任意两点的连线平行

• 转动：任意点都绕某轴做圆周运动

  其中分有定轴，动轴和定

角动量

对于刚体，我们知道其是由许多质元所组成的

利用微元的思想，据质点的角动量表达式

我们计算物体角动量在某一轴上的投影

$$\begin{aligned} \boldsymbol{L}_z&=\sum _i \boldsymbol{r}_i\times \boldsymbol{p}_i\\ &=\sum_im_i\boldsymbol{r}_i\times\boldsymbol{v}_i\\ &=\sum_i m_i\boldsymbol{\omega} r_i^2\\ &=\left ( \sum_i m_i r_i^2\right )\boldsymbol{\omega}\\ &=J_z\boldsymbol{\omega} \end{aligned}$$

对于刚体，我们引入一个重要的物理量，即转动惯量$J$

转动惯量

对于连续体，由转动惯量的定义，有

$$\begin{aligned} J&=\int_L r^2\lambda\text{d}l\\ &=\int_S r^2\sigma\text{d}S\\ &=\int_V r^2\rho\text{d}V\\ \end{aligned}$$

利用等效替代的思想，我们引入回旋半径$r_g$，由此知

$$J=Mr_g^2$$

对于常见的刚体

例，对于球体

$$\begin{aligned} J&=\int_V r^2\rho_0\text{d}V\\ &=\rho_0\iiint_\Omega (\rho\sin \theta )^2 \rho^2\sin \theta\,\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\mathrm{d}{\rho} \\ &=\rho_0\int_0^R\rho^4\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\sin^3\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\mathrm{d}{\rho} \\ &=\rho_0\int_0^R\rho^42\pi\frac43\mathrm{d}{\rho}=\frac{2mR^2}5 \end{aligned}$$

平行轴定理

$$J=J_c+md^2$$

垂直轴定理

$$I_z=I_x+I_y$$

利用对称性$(I_x=I_y)$，可以快速得到转动惯量

角动量守恒

若$M=0$

$$J\omega=C$$

对于转轴来说

• 外力与轴平行
• 外力与力臂平行(有心力)

则都有动量守恒

外力矩(只考虑外力)

$$\boldsymbol{M}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}_{外}$$

对于系统，角动量守恒的表达式为

$$\boldsymbol{M}\text{d}t=J\text{d}\boldsymbol{\omega}\\ J_1\boldsymbol{\omega}_1+J_2\boldsymbol{\omega}_2=J_1\boldsymbol{\omega}_1'+J_2\boldsymbol{\omega}_2'$$

刚体的能量

力矩的功

$$\text{d}W=M\text{d}\theta$$

转动动能

$$E_k=\frac12J\omega^2$$

动能定理

$$\int_{\theta_1}^{\theta_2}(M_{外}+M_{G})\text{d}\theta=\frac12J\omega_2^2-\frac12J\omega_1^2$$

和平动类似，故含刚体的系统需加上转动动能