牛顿定律

第一定律

若没有外力来改变物体的运·动状态，任何物体都将保持静止或做匀速直线运动的状态

$\boldsymbol{v}=\vec C(\boldsymbol{F}=0\Rightarrow\boldsymbol{a}=0)$

其又称为惯性定律，指出力是改变物体运动状态的原因

第二定律

$\boldsymbol{F}=k\frac{\text{d}\boldsymbol{p}}{\text{d}t}$

在$\text{SI(International System of Unit)}$中，$k=1$

一般情况下

$\boldsymbol{F}=M\boldsymbol{a}(\frac{\text{d}M}{\text{d}t}=0)$

第三定律

当两个物体相互作用时，相互作用力

$\boldsymbol{F}_{12}=-\boldsymbol{F}_{21}$

非惯性系

对一个以加速度$\boldsymbol{a}$做加速运动的参考系，牛顿定律不成立

若该系中物体受到一个$-m\boldsymbol{a}$的惯性力，则成立

生活中的超失重现象可由此解释

动量守恒定律

若$\sum F_{\text{external}}=0 $或更充分的不受外力

也可$\sum F{\text{external}}\ll\sum F{\text{internal}}$

$\boldsymbol{p}_1+\boldsymbol{p}_2=\boldsymbol{p}'_1+\boldsymbol{p}'_2\\ m\boldsymbol{v}_1+M\boldsymbol{v}_2=m\boldsymbol{v}'_1+M\boldsymbol{v}_2'$

移项可得$\Delta\boldsymbol{p}_1+\Delta\boldsymbol{p}_2=0,\Delta m\boldsymbol{v}_1+M\Delta\boldsymbol{v}_2=0$

由牛顿第三定律也可推出

动量定理

冲量等于动量变化量

$\int_{t_1}^{t_2}\boldsymbol{F}\text{d}t=\boldsymbol{p}_2-\boldsymbol{p}_1$

由积分中值公式

$\overline{\boldsymbol{F}}=\frac{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\boldsymbol{F}\text{d}t}{t_2-t_1}=\frac{\boldsymbol{p}_2-\boldsymbol{p}_1}{t_2-t_1}\\ \Rightarrow \boldsymbol{I}=\int_{t_1}^{t_2}\boldsymbol{F}\text{d}t=\overline{\boldsymbol{F}}(t_2-t_1)$

对于质点组，我们可以对每一个物体运用再求和

容易看出合外力的冲量等于总动量的变化量

并且$\sum F_{\text{internal}}=0$，故内力不能改变总动量

质心

$\boldsymbol{r}_c=\frac{ \sum m_i\boldsymbol{r}_i}{\sum m_i}$

一般我们为了计算，将其分解到三个轴的方向上

对于连续的物体，

$\boldsymbol{r}_c=\frac{ \displaystyle\int_V \boldsymbol{r}_i\text{d}m}{M}$

对两边求导得

$\boldsymbol{a}_c/\boldsymbol{v}_c=\frac{\sum m_i\boldsymbol{a}_c/\boldsymbol{v}_i}{\sum m_i}$

前提是质量不变

$\boldsymbol{p}=\sum m_iv_i\\ \sum\boldsymbol{F}=\frac{\text{d}\boldsymbol{p}}{\text{d}t}=M\boldsymbol{a}_c$

利用等效替代的思想可以很容易理解质心

质心与动量守恒

初始时，质心的运动速度

$v_c=\frac{M_1v_1+M_2\cdot0 }{M_1+M_2}=\frac{M_1v_1 }{M_1+M_2}$

由动量守恒得到相同的结果

从质心看，两个物体组成的系统运动状态保持不变

考虑碰撞前后动能的比值

$\frac{E_{k2}}{K_{k1}}=\frac{M_1 }{M_1+M_2}$

质心参考系

$v_c=\frac{M_1v_1 }{M_1+M_2}\\ u_1=v_1-v_c=\frac{M_2v_1 }{M_1+M_2}\\ u_2=0-v_c=-\frac{M_1v_1 }{M_1+M_2}$ $M_1u_1+M_2u_2=0$

在质心参考系中，两动量一直等大反向

$v_{AB}=v_{AS}-v_{BS}$

推广

$\begin{aligned} \boldsymbol{P}^{\prime} &=\sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \\ &=\sum_{i=1}^{N} m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}-\boldsymbol{v}_{C}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}_{i}-\sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}_{C} \\ &=\sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}_{i}-M \boldsymbol{v}_{C} \\ &=\boldsymbol{P}-\boldsymbol{P}_{C} \\ &=\mathbf{0} \end{aligned}$

质心系是一个零动量系

柯尼希定理

对于平动系$A$和质心系$S$，有$v{cA}=v{SA}=v_c$

对于动能，对速度

$v_i'=v_i-v_c\\ \Rightarrow E_{kS}=E_{kA}-\frac12Mv_c^2$

移项

$E_{kA}=E_{kS}+\frac12Mv_c^2$

质点系在参考系$A$中的总动能等于质点系在质心系中的动能与质心在参考系$A $中的动能之和

对前面一动一静作推广

在不同参考系下，$\boldsymbol{u}{12}=\boldsymbol{v}{1}-\boldsymbol{v}_{2}$

故在质心参考系下

$E_{kS}=\frac12\frac{M_1M_2}{M_1+M_2}(\boldsymbol{u}_{12})^2$

记$\mu=\frac{M1M_2}{M_1+M_2}$为折合质量，所以$E{kS}$又称为相对动能

能量守恒定律

动能定理

对某一个质点来说

$\sum F=m\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=m\frac{\text{d}v}{\text{d}x}v$

两端积分得到

$\int _{x_1}^{x_2}\sum F\text{d}x=\frac12mv_2^2-\frac12mv_1^2$

由此，我们定义$\frac12mv^2$为动能$E_k(\text{kinetic})$

而$\displaystyle \int _{x_1}^{x_2}\sum F\text{d}x$称为合外力的功$(\text{work})$

若力和位移有夹角，则乘上$\cos \theta$

注意方向，如位移从大到小，则指明$\text{d}x$为负值

对于能量，我们考察重力所做的功

重力做了$Mgh$的功从而存在着重力势能，由此我们定义

物体在地球表面上方$h$处的重力势能为$Mgh$

势能即为物体能获得动能的能力

对与某一个过程来说，$W_G=-\Delta E_p=E_1-E_2$

若$E_2=0$则场力做的功为势能，反之

从势能零点用外力匀速移动物体所做的功为势能

注意，势能零点可以随意选取，原则上方便为主

因此不指定零点的势能是无意义的

写成微分形式$W_F=F\text{d}x=-\text{d}U$

故分解后有

$\boldsymbol{F}_{保}=-\left(\frac{\partial E_p}{\partial x }\boldsymbol{i} + \frac{\partial E_p}{\partial y }\boldsymbol{j} +\frac{\partial E_p}{\partial z }\boldsymbol{k} \right)\\ \boldsymbol{F}_{保}=-\nabla E_p$

保守力的方向沿势能降低最快的方向

功能原理

首先引入保守力的概念

若一个力为保守力，则它满足以下条件

$\oint F\text{d}x=0$

即保守力做功与路径无关

我们引入机械能的概念

$E_k+E_p=E$

由动能定理和势能和功的关系移项可知

若一个系统只有保守力做功，则机械能守恒

对质点组求和，易得

$W_外+W_{内非保守}=\Delta E$

角动量守恒

角动量指位矢和动量的叉乘

$\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}= m\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v}$

力矩

$\boldsymbol{M}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}$

对$\boldsymbol{L}$

$\boldsymbol{M}=\frac{\text{d}\boldsymbol{L}}{\text{d}t}$

对$\boldsymbol{M}=0$，有角动量为一常量，即角动量守恒

对于有心力，$\sin \theta=0$，故也有角动量守恒

同时对系统来说内力所产生的力矩之和为$0$

力矩投影

我们一般研究力矩在某一轴上的投影，故还要乘上$\cos \gamma$

因为与轴平行的力产生的力矩与轴垂直

故只有在与轴垂直的平面内力的投影才有效

或称为垂直于轴的力$F_\perp $

有时外力矩的矢量不为$0$

而系统所受外力在某一轴上代数和为$0$

则系统对某轴角动量守恒

对于轴$\vec n$，取轴上任意一点$A$

$M_n(F)=\begin{vmatrix} e_x& e_y & e_z\\ r_x &r_y &r_z \\ F_x & F_y &F_z \end{vmatrix}$