微分的概念

函数值的变化量

$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

对于复杂函数，$\Delta y$比较复杂

故我们将变化量线性化，定义为微分

若函数在某邻域有定义

$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x),\Delta x\to0$

则称$f(x)$在该领域可微，$\Delta y$的线性主部$A\Delta x$

为函数的微分，记为$\text{d} y|_{x=x_0}(\Delta x=\text{d} x)$

与导数的关系

可导$\Leftrightarrow$可微$\Rightarrow A=f’(x_0)$

微分形式不变性

$\text{d} y=f'(u)\text{d} u$

不论$u$是自变量还是函数都成立

微分中值定理

费马引理

若函数在某邻域$U(x_0)$有定义，且在$x_0$处可导，则若对于任意$x\in U(x_0)$，有 $f(x)\le f(x_0)$

$\Rightarrow f'(x_0)=0$

利用极限的保号性和夹逼

罗尔定理

若函数在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导

若有$f(a)=f(b)$则

$\exists \xi\in(a,b)\quad\text{s.t.}f'(\xi)=0$

拉格朗日中值定理

若函数在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导

则有

$\exists \xi\in(a,b)\quad\text{s.t.}f'(\xi)=\frac {f(b)-f(a)}{b-a}$

有限增量定理

若函数在闭区间$[x,x+\Delta x]$上连续，在开区间$(x,x+\Delta x)$上可导，则

$\exists \xi\in(a,b)\\ \text{s.t.}f'(x+\theta \Delta x)\Delta x=f(x+\Delta x)-f(x)$

推论

若$f(x)$在区间$I$上的导数恒为$0$，则在该区间上为常函数

柯西中值定理

若函数$f(x),g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，且$g’(x)\ne0$

则有

$\exists \xi\in(a,b)\\ \text{s.t.} \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

达布中值定理

$f(x)$在$[a,b]$上连续

则导函数具有介值性，即可以取到$f’(a)$和$f’(b)$之间的一切值

同时导函数不具有第一类间断点3

泰勒公式

若函数$f(x)$在$I=(a,b),x_0\in I$处有$n(n\ge1)$阶导数，则

$\begin{aligned} f(x)&= f\left(x_{0}\right)+\frac{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}{1 !}\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots \\ &+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)\\ &=\sum_{i=0}^n\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right) \end{aligned}$

$ o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right) $为佩亚诺余项，在某邻域上使用

泰勒中值定理

若函数$f(x)$在$I=(a,b),x_0\in I$处有$n+4(n\ge1)$阶导数，则

$f(x)=\sum_{i=0}^n\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+R_n(x)\\ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\\ \xi \in(x_0,x)$

$R_n(x)$称为拉格朗日余项，在区间上使用

麦克劳林公式

若$x_0=0,\xi =\theta x$

$\begin{aligned} f(x)&=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+ \\ \quad &\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1) !} x^{n+1} \quad(0<\theta<1) . \end{aligned}$

$|f^{(n+1)}(\xi)|\le M$则有

$|R_n(x)|\le\frac{M}{(n+1)!}|x|^{n+1}$

例

$e^x=1+x+\frac1{2!}x^2+\cdots+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}|x|^{n+1}$

常用

$\sin x = x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 - \frac{1}{7!} x^7 \ldots \qquad (x \in \mathbb R)\\ \cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!} x^4 -\frac{1}{6!} x^6 \ldots \qquad (x \in \mathbb R)\\ \mathrm{e} ^x =1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 \ldots \qquad (x \in \mathbb R)\\ \ln\left(1+x\right) = x - \frac12 x^2 + \frac13 x^3 - \frac14 x^4 \ldots \qquad (-1 < x < 1)\\ \frac{1}{1 \pm x} = 1 \mp x + x^2 \mp x^3 + x^4 \ldots \qquad (-1 < x < 1)\\ \sqrt{1\pm x} = 1 \pm \frac12 x - \frac18 x^2 \pm \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128}x^4 \ldots \qquad (-1 < x < 1)\\ \tan x=x+\frac{x^3}3+\frac{2}{15}x^5\ldots\\ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}2 x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n\ldots$

拓展

$\frac1{1+x^2}=\sum_{i=0}^n(-1)^ix^{2i}+o(x^{2n+1})\\ \begin{aligned} \arctan x&=\sum_{i=0}^{2n}\frac{f ^{(i)}(0)} {i!}x^{i}\\&=\sum_{i=0}^n\frac{1}{(2i+1)!}\left.\left(\frac1{x^2+1}\right)^{(2i)}\right|_{x=0}x^{2i+1}\\ \\&=\int \frac1{1+x^2}\text{d}x\\ &=\sum_{i=0}^n\frac{(-1)^i}{2i+1} x^{2i+1}+ o(x^{2n+1})\end{aligned}$

泰勒展开没有普遍规律，但关键看余项的阶数，能够消掉余项就行

分式先看哪个好确定阶数，再上下同阶

洛必达法则

$\frac00$型

$\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a} g(x)=0$
$g^{\prime}(x) \neq 0, \forall x \in \mathring{U}(a, \delta),f(x),g(x)可导$
$\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=l(l \text { 为有限数或 } \pm \infty)$

$\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=l$

洛必达法则为后验的，上下求导极限不存在而不能说明原极限不存在

$\frac\infty\infty$型

$\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a} g(x)=\infty$
$g^{\prime}(x) \neq 0,\forall x \in \mathring{U}(a, \delta),f(x),g(x)可导$
$\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=l(l \text { 为有限数或 } \pm \infty)$ $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=l$

其他类型同样可以通过化简变形可转化为上面两类