$\varepsilon -N$定义

描述性定义：要多接近，有多接近

用$|a-b|$来描述距离

设${a_n}$为一个数列，$A$为某一常数，若对任意$\varepsilon>$0，都存在$N,N\in\mathrm{N}^+$使得当$n>N$时

$|a_n-A|<\varepsilon$

称$A$为${a_n}$趋于正无穷的极限，或${a_n}$称收敛于$A$

$\lim_{n\to\infty}a_n=A$

性质

唯一性

若数列${a_n}$收敛，则它的极限唯一

子数列的性质

对任意一个子数列${a_{n{_k}}}$

$\lim_{n_k\to\infty}a_{n_k}=\lim_{n\to\infty}a_n$

逆否命题

若存在两个子数列不收敛与同一常数，则原数列必发散

收敛于不同常数$(-1)^n$
至少有一个发散

有界性

对任意$n\in \mathrm{N}^+$，$\exists M>0$

$|a_n|\le M$

有界$\Leftrightarrow$同时有上界和下界

关系

若数列收敛则必有界，反之未必成立

保号性

若$\lim_{n\to\infty}a_n>0$，则$\exists N>0,n>N$时，有

$a_n>/<0$

加强形式

从某项起有$a_n>0$，则

$\lim_{n\to\infty}a_n\ge0$

审敛准则

夹逼定理

the sandwich principle(also known as the “squeeze principle”).

若$a_n\le b_n\le c_n$

$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=A\\ \Rightarrow\lim_{n\to\infty}b_n=A$

单调有界准则

单调有界数列必有极限

如${a_n}\uparrow$，则$a_1$为下界，若有上界则收敛，反之发散

运算法则

四则注意分母不为$0$

一定要两个极限都存在才可计算

$\lim_{x\to\infty}x-\lim_{x\to\infty}x\ne\lim_{x\to\infty}(x-x)$

还有子极限必须要存在，如

$\exists\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+2 h\right)-f\left(x_{0}-3 h\right)}{h}$

子极限不一定存在故不一定可导

反推可能有错误

重要极限

$\because x\ge0,\sin x\le x\le \tan x\\ \therefore1\le \frac x{\sin x}\le \frac1{\cos x}\\ \because\lim_{x\to0}\frac1{\cos x}=1\\ \therefore\lim_{x\to0}\frac x{\sin x}=1$ $\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e$

无穷小

在某一个极限过程中$(x\to x_0/\infty)$，$ \lim\alpha (x)=0$

则称$\alpha (x)$为$(x\to x_0/\infty)$的无穷小

无穷小可以与极限相互转化

$\lim f(x)=A\Leftrightarrow \lim(f(x)-A)=\alpha$

定理

有限个无穷小之和是无穷小，有界函数与无穷小之积是无穷小

等价无穷小

若$\alpha,\beta$为同一变化过程的两个无穷小，$\lim\frac\beta \alpha$为这个过程的极限

$\lim\frac\beta \alpha=0$，则$\beta$为$\alpha$的高阶无穷小，记为$\beta=o(\alpha)$
$\lim\frac\beta \alpha=c$为同阶无穷小$c\ne 0$
$\lim\frac\beta \alpha=1$则为等价无穷小，记为$\beta\sim\alpha$
$\lim\frac\beta {\alpha^k}=c(c\ne 0)$则称$\beta$为关于$\alpha$的$k$阶无穷小

特别的，对于等价无穷小$\beta\sim\alpha$，有

$\beta=\alpha+o(\alpha)$

代换原则，乘积可代换，加减若上下同阶可代换

$\sin x \sim x \sim \tan x \sim\arcsin x \sim \arctan x\\ 1-\cos ^mx \sim \frac{mx^{2}}{2}, \ln (1+x) \sim x\\ e^x-1\sim x,\frac{a^x-1}x\sim\ln a\\ \tan x-x\sim\frac13x^3\sim x-\arctan x\\ x-\sin x\sim\frac16x^3\sim\arcsin x-x\\ x-\ln(x+1)\sim\frac12x^2\\(1+x)^\alpha-1\sim +\alpha x$

渐近线

$\lim_{x\to \infty}f(x)=A\Rightarrow y=A为水平渐近线\\ \lim_{x\to x_0^+/x_0^-}f(x)=\infty\Rightarrow x=x_0为铅直渐近线\\ k=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}x,b=\lim_{x\to \infty}[f(x)-kx]$