大一/高数/函数

基本概念

例​：$f(x)=x^2$

定义了一个函数 $f$ ，法则为将一个数转变为它的平方

未指定，故定义域为$\mathbf{R }$(实数集)

意义：$f(2)=4$，通过法则$f$将数字$2$转变为$4$

By the way, $f$ is the transformation rule, while $f(x)$ is the result of applying the transformation rule to the variable $x$. So it’s technically not correct to say “$f(x)$ is a function”; it should be “$f$ is a function.”

区间

$$[a, b) \quad\{x: a \leq x<b\}$$

$$(−8, 13]\backslash \{2\}(\text{not including 2})$$

函数

基本初等函数

常函数，幂函数，三角函数，反三角函数，对数函数，指数函数

初等函数是由基本初等函数经过==有限次==复合形成的能用一个式子表示的函数

反三角函数

$$x\in[-1,1],y\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\\ \frac{\text{d}}{\text{d}x}\arcsin x=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$$

$$x\in[-1,1],y\in\left[0,\pi\right]$$

重要关系

$$\sin\left(\frac\pi2-x\right)=\cos x=t \\ \arcsin x+\arccos x=\frac\pi2$$

$$x\in\mathbf{R},y\in\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$$ $$\arctan A-\arctan B=\arctan \frac{A-B}{1+A B}$$ $$A=\tan \alpha \Leftrightarrow \alpha=k\pi+ \arctan A$$

例

$$f(x)=\cot x(x\in(\pi,2\pi))\\ f_{\text{std}}=\cot(x-\pi),x-\pi=\text{arccot}(x-\pi)\\ f^{-1}(x)=\pi+\text{arccot}(x)$$

双曲函数

$$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}2\\ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2$$ $$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\\ \sinh\left(x+y\right) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y\\ \cosh\left(x+y\right) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$$

$$\sinh^{-1} x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \\ \cosh^{-1} x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \\$$

函数的极限

$\varepsilon-\delta$定义

$\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta>0$，使得$x\in(a-\delta,a+\delta)$时，$|f(x)-A|<\varepsilon$恒成立，但存在$f(a)$无定义，故$0<|x-a|<\delta$

记作：

$$\lim_{x\to a}f(x)=A$$

去心$\delta$邻域

$$\mathring{U}(a,\delta)=\{x|0<|x-a|<\delta,\delta>0\}$$

右$\delta$邻域

$$\mathring{U}^+(a,\delta)=\{x|0<x-a<\delta\}=(a,a+\delta)$$

左右极限

若对$\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta>0$，当$x\in\mathring{U}^+(a,\delta)$时恒有${|f(a)-A|<\varepsilon}$

就称$A$为函数$f(x)$在$a$处的右极限，记为

$$\lim_{x\to a^+}f(x)=A$$

定理

$$\lim_{x\to a}f(x)存在\Leftrightarrow\lim_{x\to a^-}f(x)和\lim_{x\to a^+}f(x)\\分别存在且相等$$

无穷

设$f(x)$在$|x|>M,M>0$时有定义，$A$为某一常数，若对任意$\varepsilon>$0，都$\exists X>0$使得当$ |x|>X$时

$$|f(x)-A|<\varepsilon$$

那么就称$A$为函数$f(x)$当$x\to \infty$的极限

$$\lim_{x\to \infty}f(x)=A/f(x)\to A(当x\to \infty)$$

同理正无穷去掉绝对值

性质

有界性

设$f(x)$在区间$X$上有定义，且对任意$x\in X$，存在$M$使得

$$|f(x)|\le M$$

就称$f(x)$在$X$上有界

同理若

$$f(x)\le K_1$$

则称$f(x)$在X上有上界，其中$K_1$为$f(x)$在$X$上的一个上界

连续

$f(x)\in C[a,b]$则$f(x)$在$[a,b]$上有界

但开区间不一定满足有界

若有界则$\exists \lim{x\to a^+} f(x),\lim{x\to b^-} f(x)$

极限的性质

唯一性

若有极限，则必唯一

逆否：若左右极限不等，则极限不存在

局部有界性

函数与数列的区别是函数是连续的而数列是离散的

如$y=\frac1x$极限为$0$但无界

若$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=A$，则$\exists \delta>0$，当$x\in \mathring{U}(a,\delta),|f(x)|\le M(M>0)$

反向

若$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=A(A\ne 0)$，则$\exists \delta>0$，当$x\in \mathring{U}(a,\delta),|f(x)|>\left|\frac A2\right |(M>0)$

单侧有界性

可单侧使用

若右极限存在，则在右邻域中有界

保号性

若$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=A>0$，则$\exists \delta>0$，当$x\in \mathring{U}(a,\delta),f(x)>0$

复合函数

$y=f[\varphi(x)]$==其中$\varphi (x)\ne a $==，若

$$\lim_{x\to x_0}\varphi(x)=a,\lim_{x\to a}f(x)=A\Rightarrow\\ \lim_{x\to x_0}f[\varphi(x)]=A$$

$f(x)$可能在$a$处无定义

连续与间断

定义，若$f(x)$在$x_0$的邻域(不去心)有定义，且

$$\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to0}f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=0$$

等价定义(三合一)，必须双向逼近

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)=\lim_{x\to x_0^+/x_0^-}f(x)$$

特点:

• 在邻域有定义$\exists f(x_0)$
• 左右极限存在且相等
• 等于函数值

在区间上连续

开区间若每一点连续则在区间上连续

闭区间在端点处只要求单侧连续

基本初等函数在定义域上连续

初等函数在定义区间上连续($\text{not}$定义域)

反例$y=\sqrt{\sin x-1}$无邻域

运算

四则注意分母不为0

复合函数

$$\lim_{x\to x_0}\varphi(x)=a,\lim_{x\to a}f(x)=f(a)=A\\ \Rightarrow\lim_{x\to x_0}f[\varphi(x)]=f[\lim_{x\to x_0}\varphi(x)]=f(a)$$

内层不需要连续，连续则极限符号可交换

间断

首先有函数在去心领域有定义，其次不连续

介值定理

$f(x)$在$[a,b]$上连续，则对$\forall c\in[m,M]$，$\exists \xi\in[a,b],\text{s.t.}f(\xi)=c$

离散形式

数列满足$|a{n+1}-a{n}|\le1$则类比介值定理

零点定理

$f(x)$在$[a,b]$上连续，则若$f(a)f(b)<0$，$\exists \xi\in(a,b),\text{s.t.}f(\xi)=0$

实际上为零点定理的特殊形式

特殊函数

绝对值$|x|$，$0$处连续但不可导

$$\lim_{x\to0}\frac{f(x+h)-f(x-h)}h=0$$

• 曲线光滑不一定可导

  $y=x^{\frac13},y’=\frac{1}{3x^{\frac23}},x\to0,y’=\infty$

• 导数存在不一定连续可导(导函数连续)

  $$f(x)=\begin{cases}x^2\sin \frac1x,x\ne0\\ 0,x=0\end{cases}$$

符号函数

$$x=|x|\text{sgn}x \\ |x|=x\text{sgn}x$$ $$f(x)=\begin{cases}1,x\ge0\\ -1,x<0\end{cases}$$

$|f(x)|$连续

$$[x]\le x<[x]+1$$

定义域为$\mathbf R$，值域为$\mathbf Z$

$$[x]+[y]\le[x+y]\le[x]+[y]+1$$

Dirichlet function

$$\textbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\begin{cases}1,x\in \mathbb{Q}\\ 0,x\notin \mathbb{Q}\end{cases}$$

处处无极限，处处不连续，处处不可导

任意有理数都为其周期，无最小正周期，偶函数

$$f(x)=\begin{cases}\frac1x,x\ne0\\ 0,x=0\end{cases},f(f(x))=x$$