高中/数学/待定系数法

楼梯有$n$阶，上楼可以一步上$1$阶，也可以一步上$2$阶，

求上$n$阶台阶的方法数$F_n$

分析：要上$n$阶台阶，可以上了$n-2$阶后再上$2$阶，

也可以上$n-1$阶后再上$1$阶

写成数学语言

$$\color{red}F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$$ $$F_{n}+\lambda F_{n-1}=(1+\lambda)(F_{n-1}+\lambda F_{n-2})\\ F_{n}=F_{n-1}+(1+\lambda)\lambda F_{n-2}\\$$ $$\lambda^2+\lambda=1$$ $$\begin{cases}\lambda_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\\lambda_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{cases}\Rightarrow \{ {F_n} + \lambda {F_{n - 1}}\}$$

是公比为$1+\lambda $的等比数列

$$F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]$$

某班级在一次植树种花活动中负责对一片圆环区域栽植鲜花,该圆环区域被等分$ n$个部分$(n\geqslant 4 )$,每个部分从红,黄,蓝三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植,要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花。将总的栽植方案数用$ a{n} $表示,则 $ a{4}=\underline{\quad\quad}$;$ a_{n}=\underline{\quad\quad}$

$1$和$n$颜色不同$\rightarrow a_n$

$1$和$n$颜色相同，把$1$和$n$看成一个部分$\rightarrow a_{n-1}$

$$a_n+a_{n-1}=3\times(-2)^{n-1}(n>1)$$ $$\begin{gathered} {a_n} + \lambda \cdot {2^n} = - ({a_{n - 1}} + \lambda \cdot {2^{n - 1}}) \hfill \\ - (\lambda + 2\lambda ) = 3 \Rightarrow \lambda = - 1 \hfill \\ \end{gathered}$$

${ {a_n} - {2^n}}$是公比为$-1$的等比数列，$a_2=6$

$$\begin{gathered} {a_n} - {2^n} = ({a_2} - {2^2}) \cdot {( - 1)^{n - 2}} \hfill \\ {a_n} = {2^n} + 2 \times {( - 1)^{n - 2}} = {2^n} + 2 \times {( - 1)^n} \hfill \\ \end{gathered}$$ $$a_{n+1}=p a_{n}+a n^{2}+b n+c(p \neq 1,0)\\ \Rightarrow a_{n+1}+x(n+1)^{2}+y(n+1)+z=p\left(a_{n}+x n^{2}+y n+z\right)$$