导数

基本公式

$(x^a)'=ax^{a-1}\\ (a^x)'=\ln a \cdot a^x \\(\log_ax)'=\frac{1}{\ln a\cdot x }\\ (\sin x)'=\cos x\\ (\cos x)'=-\sin x$ $[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x) \\ [f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\ \left (\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ $[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

放缩

$1-\frac1x\le\ln x\le x-1\\ \ln x\le \frac xe \\e^x\ge x+1\\e^x\ge ex \\ x=\ln e^x=e^{\ln x}$

积分

$\int k \mathrm{~d} x=k x+\mathrm{C}$ $\int x^{k} \mathrm{~d} x=\frac{x^{k+1}}{k+1}+\mathrm{C}$ $\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln |x|+\mathrm{C}(x \neq 0) \\ \int \sin x \mathrm{~d} x=-\cos x+\mathrm{C} \\ \int \cos x \mathrm{~d} x=\sin x+\mathrm{C} \\ \int \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{C}$