微分方程

通过某些变量的变化率来求出原始函数的表达式 变化率比较好表达

例如

例如自由落体，物体始终受重力，加速度为$g$
$\begin{array}{c} \ddot{y}(t)=-g \quad \dot{y}(t)=-g t+v_{0} \\ y(t)=-(1 / 2) g t^{2}+v_{0} t+y_{0} \end{array}$
如已知位移对时间的二阶导数，则可以对两边积分，得到一阶导数和原始函数
天体运动，引力大小和方向都在变化，用如下微分方程来描述
${F_{1}=m_{1} \overrightarrow{\mathbf{a}}_{1}}=G m_{1} m_{2}\left(\frac{\overrightarrow{\mathbf{x}}_{2}-\overrightarrow{\mathbf{x}}_{1}}{\left\|\overrightarrow{\mathrm{x}}_{2}-\overrightarrow{\mathbf{x}}_{1}\right\|}\right)\left(\frac{1}{\left\|\overrightarrow{\mathbf{x}}_{2}-\overrightarrow{\mathbf{x}}_{1}\right\|^{2}}\right)$

如何求解微分方程

$example:$有阻尼的简谐运动

定义弹簧的回复力$f$

$f=-c x$

定义阻力$R$,阻力大小和速度大小成正比，方向与速度方向相反

$R=-\mu \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

由牛顿第二定律得

$m \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} t^{2}}=-c x-\mu \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

为了将二阶导数前的系数归一化，令

$2 n=\frac{\mu}{m}, k^{2}=\frac{c}{m}$

化简得

$\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} t^{2}}+2 n \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}+k^{2} x=0$

这就是在有阻尼的情况下,物体自由振动的微分方程

$lemma1:$

$y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$

如果函数$ y{1}(x) 与 y{2}(x) $是方程的两个解,那么$y=C{1} y{1}(x)+C{2} y{2}(x)$也是方程的解,其中 $ C{1}, C{2} $是任意常数.

$proof:$

暴力带入

$\begin{aligned} &\left[C_{1} y_{1}^{\prime \prime}+C_{2} y_{2}^{\prime \prime}\right]+P(x)\left[C_{1} y_{1}^{\prime}+C_{2} y_{2}^{\prime}\right]+Q(x)\left[C_{1} y_{1}+C_{2} y_{2}\right] \\ =& C_{1}\left[y_{1}^{\prime \prime}+P(x) y_{1}^{\prime}+Q(x) y_{1}\right]+C_{2}\left[y_{2}^{\prime \prime}+P(x) y_{2}^{\prime}+Q(x) y_{2}\right]\equiv 0 \end{aligned}$

$lemma2:$

对二阶常系数齐次线性微分方程

$y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$

其特征方程为

$r^{2}+p r+q=0$

当

$p^{2}-4 q<0$

其两解为

$\begin{array}{c} r_{1}=\alpha+\beta i, \quad r_{2}=\alpha-\beta i \\ \alpha=-\frac{p}{2}, \quad \beta=\frac{\sqrt{4 q-p^{2}}}{2} \end{array}$

故微分方程两解为

$y_{1}=\mathrm{e}^{(\alpha+\beta i) x}, y_{2}=\mathrm{e}^{(\alpha-\beta i) x}$

利用欧拉公式

$\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta$

得

$\begin{array}{l} y_{1}=\mathrm{e}^{(\alpha+\beta i) x}=\mathrm{e}^{\alpha x} \cdot \mathrm{e}^{\beta x i}=e^{\alpha x}(\cos \beta x+i \sin \beta x) \\ y_{2}=\mathrm{e}^{(\alpha-\beta i) x}=\mathrm{e}^{\alpha x} \cdot \mathrm{e}^{-\beta x i}=\mathrm{e}^{\alpha x}(\cos \beta x-\mathrm{i} \sin \beta x) \end{array}$

由$lemma1$

$\begin{array}{l} \bar{y}_{1}=\frac{1}{2}\left(y_{1}+y_{2}\right)=\mathrm{e}^{\alpha x} \cos \beta x \\ \bar{y}_{2}=\frac{1}{2 \mathrm{i}}\left(y_{1}-y_{2}\right)=\mathrm{e}^{\alpha x} \sin \beta x \end{array}$

$\bar{y}{1},\bar{y}{2}$都是方程的解

$\frac{\bar{y}_{1}}{\bar{y}_{2}}=\frac{e^{\alpha x} \cos \beta x}{e^{\alpha x} \sin \beta x}=\cot \beta x$

表明两解线性无关

故方程的通解为

$y=\mathrm{e}^{\alpha x}\left(C_{1} \cos \beta x+C_{2} \sin \beta x\right)$

$\rm start:$

$\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} t^{2}}+2 n \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}+k^{2} x=0$

初值条件

$\left.x\right|_{t=0}=x_{0},\left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0}=v_{0}$

特征方程

$r=\frac{-2 n \pm \sqrt{4 n^{2}-4 k^{2}}}{2}=-n \pm \sqrt{n^{2}-k^{2}}$

本文只讨论小阻尼情况$n<k$

由$lemma2$

$x=\mathrm{e}^{-n t}\left(C_{1} \cos \omega t+C_{2} \sin \omega t\right)$

带入初值条件

$x=\mathrm{e}^{-n t}\left(x_{0} \cos \omega t+\frac{v_{0}+n x_{0}}{\omega} \sin \omega t\right)$

辅助角

$\omega=\sqrt{k^{2}-n^{2}}, \quad A=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{\left(v_{0}+n x_{0}\right)^{2}}{\omega^{2}}}, \quad \tan \varphi=\frac{x_{0} \omega}{v_{0}+n x_{0}}$ $x=A \mathrm{e}^{-n t} \sin (\omega t+\varphi)$

物体的运动是周期为$T=\frac{2 \pi}{\omega} $ 的振动。但与简谐振动不同它的振幅 $A \mathrm{e}^{-n t} $随时间 $t$ 的增大而逐渐域小,因此,物体随时间 $t$ 的增大而趋于平衡位置

图像