前川定理(The Maekawa-Justin Theorem)
简介
MAEKAWA Jun (前川淳)，日本的软件工程师，数学家，折纸艺术家。
平顶点折叠的例子
让$M(\text{Mountain})$和$V(\text{Valley})$分别代表平顶点折叠中山折和谷折的数量，则前川定理可以表示为
$M = V +2 \quad \text{or}\quad V = M + 2$
即$|M-V|=2$
$\text{Proof}\;1:$
由于我们只关心顶点$x$和周围的折痕，所以可以以$x$为圆心做一个圆$(a)$，按折痕折叠后形成$(b)$
从下往上看向顶点x，可以发现圆环形成了一个闭合回路$(c)$
想象有一个蚂蚁从$p$点出发在这个闭合回路上爬行，遇到山折便逆时针旋转$180^{\circ}$，遇到谷折便顺时针旋转$180^{\circ}$，最后回到原点，方向和开始一样，由于沿着闭合回路走了一周，相当于旋转了$360^{\circ}$度，即
$M · 180^{\circ} +V ·(−180^{\circ}) = 360^{\circ}$
$M − V = 2$
因为纸有两面，如果从另一面看，原来的山折变成了谷折，原来的谷折变成了山折，所以有
$V − M = 2$
这样便证明了前川定理
$\text{Proof}\;2:$
这个证明是由$\text{Jan Siwanowicz}$在他还是个高中生的时候提出的
将此前的闭合回路看作一个多边形，把山折看成内角等于$0$，谷折看成内角等于$360^{\circ}$
由多边形内角和定理
$\sum\limits_{i=1}^n\theta_i=(n-2)×180^{\circ}$
推得在这个多边形中，内角和为
$M · 0^{\circ} +V · 360^{\circ}$
所以$V · 360^{\circ} = (M +V-2)180^{\circ}$
$\therefore M = V +2 \quad \text{or}\quad V = M + 2$
推广：
$M + V = 2(V+1) \quad \text{or} \quad2(V − 1)$
得到偶数定理：单顶点折叠中折痕总数必为偶数，角的总数也必为偶数