预备知识

曲线光滑，有连续转动的切线

$f(x)=\begin{cases}x=x(t),\\y=y(t)\end{cases}\\ \exists x'(t),y'(t)\in C(\alpha,\beta)\\ x'(t)^2+y'(t)^2\ne0$

充分条件：导函数连续

弧微分公式

$\begin{aligned} s&=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\text{d}t\\ &=\int_{a}^{b}\sqrt{1+y'^2}\text{d}x\\ &=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\rho^2(\varphi)+\rho'^2(\varphi)}\text{d}\varphi \end{aligned}$ $\\ \text ds=\sqrt{1+y'^2}\text dx$

曲率

平均曲率

$\overline{K}=\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|$

曲线$C$在$M$处的曲率

$K=\lim_{\Delta s \rightarrow0}\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|=\left|\frac{\text d\alpha}{\text d s}\right|$ $K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}\approx |y''|$

曲率圆

$\rho=\frac1K$

则$\rho$为曲线在该点处的曲率半径

曲率圆的中心为该点处的曲率中心